Номер 7, страница 107, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

7. К концам однородного стержня длиной $l = 50 \text{ см}$ и весом $P = 10 \text{ Н}$ подвешены две гири весом $P_1 = 10 \text{ Н}$ и $P_2 = 30 \text{ Н}$. В какой точке следуетпоставить опору, чтобы стержень находился в равновесии?

(Ответ: на расстоянии 12,5 см от точки приложения силы $P_2$)

Дано:

Длина стержня, $l = 50$ см

Вес стержня, $P = 10$ Н

Вес первой гири, $P_1 = 10$ Н

Вес второй гири, $P_2 = 30$ Н

$l = 0,5$ м

Найти:

$\text{x}$ — расстояние от точки приложения силы $P_2$ до опоры

Решение:

Для того чтобы стержень находился в состоянии равновесия, точка опоры должна быть расположена под центром тяжести всей системы, состоящей из стержня и двух гирь. Найдем положение этого центра тяжести.

Введем систему координат, направив ось $Ox$ вдоль стержня. Для удобства расчетов поместим начало координат ($x=0$) в точку приложения силы $P_2$ (правый конец стержня).

Тогда координаты точек приложения сил будут следующими:

1. Сила $P_2$ приложена в точке с координатой $x_2 = 0$.

2. Стержень является однородным, поэтому его вес $\text{P}$ приложен к его центру. Координата центра стержня: $x_c = l/2 = 50/2 = 25$ см.

3. Сила $P_1$ приложена к другому (левому) концу стержня, координата которого $x_1 = l = 50$ см.

Координата центра тяжести системы $x_{цт}$ определяется по формуле:

$x_{цт} = \frac{P_1 x_1 + P_2 x_2 + P x_c}{P_1 + P_2 + P}$

Подставим в формулу известные значения, используя веса вместо масс, так как $P=mg$ и ускорение свободного падения $\text{g}$ одинаково для всех тел системы:

$x_{цт} = \frac{10 \cdot 50 + 30 \cdot 0 + 10 \cdot 25}{10 + 30 + 10}$

$x_{цт} = \frac{500 + 0 + 250}{50}$

$x_{цт} = \frac{750}{50} = 15$ см

Координата центра тяжести $x_{цт} = 15$ см была рассчитана от начала координат, которое мы поместили в точку приложения силы $P_2$. Следовательно, опору необходимо поставить на расстоянии 15 см от конца стержня, к которому подвешена гиря весом $P_2$.

Также эту задачу можно решить, используя правило моментов. Момент силы — это произведение модуля силы на её плечо. Для равновесия стержня сумма моментов сил, вращающих его по часовой стрелке, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки, относительно точки опоры.

$M_{по\ часовой} = M_{против\ часовой}$

Пусть опора находится на искомом расстоянии $\text{x}$ от гири $P_2$.

Момент от $P_2$ вращает стержень против часовой стрелки: $M_2 = P_2 \cdot x = 30x$.

Моменты от $\text{P}$ и $P_1$ вращают стержень по часовой стрелке. Их плечи равны $(25-x)$ и $(50-x)$ соответственно.

$M = P \cdot (25 - x) = 10(25-x)$

$M_1 = P_1 \cdot (50 - x) = 10(50-x)$

Составим уравнение:

$30x = 10(25-x) + 10(50-x)$

$30x = 250 - 10x + 500 - 10x$

$30x = 750 - 20x$

$50x = 750$

$x = 15$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: опору следует поставить на расстоянии 15 см от точки приложения силы $P_2$.