Номер 4, страница 107, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*4. В свинцовом шаре сделана сферическая полость, касающаяся поверхности шара и проходящая через его центр. Масса шара $\text{M}$, радиус $\text{R}$. Определите положение центра тяжести этого шара.

(Ответ: $\frac{R}{14}$)

*4 Дано:

Радиус сплошного шара: $\text{R}$

Полость: сферическая, касается поверхности шара и проходит через его центр.

(Примечание: Масса шара M, указанная в условии, не требуется для нахождения относительного положения центра тяжести, так как она сокращается в расчетах).

Найти:

Положение центра тяжести шара с полостью — $x_{цт}$

Решение:

Для решения задачи применим метод отрицательных масс. Шар с полостью можно рассматривать как сплошной шар, из которого вычли (удалили) меньший шар, соответствующий полости.

Введем одномерную систему координат с началом в центре большого сплошного шара (до того, как в нем сделали полость). Ось $Ox$ направим так, чтобы она проходила через центр полости.

По условию, полость касается поверхности шара и проходит через его центр. Это означает, что диаметр полости равен радиусу большого шара $\text{R}$. Следовательно, радиус полости $\text{r}$ равен $R/2$. Центр полости будет находиться на оси $Ox$ на расстоянии $R/2$ от начала координат.

Координата центра масс системы, состоящей из сплошного шара (индекс 1) и удаленной части (индекс 2, с отрицательной массой), находится по формуле:

$x_{цт} = \frac{m_1 x_1 - m_2 x_2}{m_1 - m_2}$

Здесь:

• $x_1$ — координата центра масс сплошного шара. Так как начало координат в его центре, $x_1 = 0$.
• $x_2$ — координата центра масс удаляемого шара (полости). $x_2 = R/2$.
• $m_1$ — масса сплошного шара.
• $m_2$ — масса удаляемого шара.

Масса однородного шара пропорциональна его объему $V = \frac{4}{3}\pi (\text{радиус})^3$. Пусть $\rho$ — плотность материала шара.

Масса сплошного шара: $m_1 = \rho V_1 = \rho \frac{4}{3} \pi R^3$.

Масса удаляемого шара: $m_2 = \rho V_2 = \rho \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho \frac{4}{3} \pi (\frac{R}{2})^3 = \rho \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} = \frac{1}{8} (\rho \frac{4}{3} \pi R^3) = \frac{1}{8} m_1$.

Теперь подставим все значения в формулу для центра тяжести:

$x_{цт} = \frac{m_1 \cdot 0 - (\frac{1}{8} m_1) \cdot \frac{R}{2}}{m_1 - \frac{1}{8} m_1} = \frac{-\frac{m_1 R}{16}}{\frac{7}{8} m_1}$

Сокращаем массу $m_1$, так как она присутствует и в числителе, и в знаменателе:

$x_{цт} = \frac{-\frac{R}{16}}{\frac{7}{8}} = -\frac{R}{16} \cdot \frac{8}{7} = -\frac{8R}{16 \cdot 7} = -\frac{R}{2 \cdot 7} = -\frac{R}{14}$

Знак «минус» показывает, что центр тяжести сместился от центра исходного шара в сторону, противоположную вырезанной полости. Расстояние, на которое он сместился, равно модулю этого значения, то есть $\frac{R}{14}$.

Ответ:

Центр тяжести шара находится на расстоянии $\frac{R}{14}$ от его геометрического центра в сторону, противоположную полости.