Номер 3, страница 107, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*3. Железный прут массой $\text{M}$ изогнут пополам так, что его части образуют прямой угол. Прут подвешен за один из концов на шарнире. Найдите угол $α$, который образует с вертикалью верхняя часть стержня в положении равновесия.

(Ответ: $18^\circ$)

Дано:

Масса прута: $\text{M}$

Прут однородный, изогнут посередине так, что его части образуют прямой угол ($90^\circ$).

Прут подвешен на шарнире за один из концов.

Найти:

Угол $\alpha$, который образует с вертикалью верхняя часть стержня в положении равновесия.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся условием равновесия тела, подвешенного в поле тяжести: в положении равновесия центр масс тела находится на одной вертикальной линии с точкой подвеса, причем центр масс занимает наинизшее возможное положение.

Пусть общая длина прута равна $2L$. Так как прут изогнут пополам, каждая из его частей имеет длину $\text{L}$. Поскольку прут однородный, масса каждой части равна $m = M/2$.

Введем систему координат для определения положения центра масс. Удобно расположить начало координат в точке изгиба прута, а его части направить вдоль осей. Пусть одна часть прута лежит на оси $Ox$ (от $\text{0}$ до $\text{L}$), а вторая — на оси $Oy$ (от $\text{0}$ до $\text{L}$).

Центр масс первой части (на оси $Ox$) имеет координаты $C_1 = (L/2, 0)$.

Центр масс второй части (на оси $Oy$) имеет координаты $C_2 = (0, L/2)$.

Координаты общего центра масс ($x_{ЦМ}, y_{ЦМ}$) всей системы найдем по формулам:

$x_{ЦМ} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot (L/2) + m \cdot 0}{m+m} = \frac{m L/2}{2m} = \frac{L}{4}$

$y_{ЦМ} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot 0 + m \cdot (L/2)}{m+m} = \frac{m L/2}{2m} = \frac{L}{4}$

Таким образом, центр масс изогнутого прута находится в точке $ЦМ$ с координатами $(L/4, L/4)$ в выбранной системе координат.

Прут подвешен за один из концов. Пусть точка подвеса $\text{O}$ — это конец части, расположенной на оси $Oy$. Тогда ее координаты $o = (0, L)$. Эта часть прута является верхней в положении равновесия.

В положении равновесия прут повернется так, что его центр масс $ЦМ$ окажется на вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса $\text{O}$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между верхней частью прута (которая в нашей системе координат до поворота лежит на оси $Oy$) и вертикалью (линией, соединяющей $\text{O}$ и $ЦМ$).

Рассмотрим треугольник, образованный точкой подвеса $O(0, L)$, центром масс $ЦМ(L/4, L/4)$ и проекцией центра масс на ось $Oy$ — точкой $P(0, L/4)$. Этот треугольник прямоугольный.

Катеты этого треугольника:

Горизонтальный катет (расстояние от $ЦМ$ до оси $Oy$): $P(ЦМ) = x_{ЦМ} = L/4$.

Вертикальный катет (расстояние между $\text{O}$ и $\text{P}$ по оси $Oy$): $OP = y_o - y_P = L - L/4 = 3L/4$.

Угол $\alpha$ при вершине $\text{O}$ в этом треугольнике можно найти через тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{P(ЦМ)}{OP} = \frac{L/4}{3L/4} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(1/3)$

Вычисляя значение, получаем:

$\alpha \approx 18.43^\circ$

В ответе к задаче приведено округленное до целых значение.

Ответ: $\alpha = \arctan(1/3) \approx 18^\circ$.