Номер 3, страница 117, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Два рыбака ловят рыбу в озере, сидя в неподвижной лодке. Куда и на сколько сместится лодка, если рыбаки поменяются местами? Масса лодки 280 кг, масса первого рыбака 70 кг, масса второго 105 кг, расстояние между рыбаками 5 м. Сопротивлением воды можно пренебречь.

(Ответ: 38 см)

Дано:

Масса лодки: $m_л = 280$ кг

Масса первого рыбака: $m_1 = 70$ кг

Масса второго рыбака: $m_2 = 105$ кг

Расстояние между рыбаками: $L = 5$ м

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Смещение лодки $\Delta x$ и его направление.

Решение:

Систему тел «лодка + два рыбака» можно считать замкнутой в горизонтальном направлении, так как по условию сопротивление воды пренебрежимо мало, а остальные внешние силы (сила тяжести и сила Архимеда) уравновешены и действуют по вертикали. Поскольку система изначально находилась в состоянии покоя, ее центр масс не будет смещаться при любых внутренних перемещениях. Положение центра масс системы останется неизменным.

Введем систему отсчета, связанную с берегом. Направим ось ОХ от первоначального положения первого (более легкого) рыбака к первоначальному положению второго (более тяжелого) рыбака.

Пусть $\Delta x$ — искомое смещение лодки относительно берега. Когда рыбаки меняются местами, их перемещения относительно лодки равны $\text{L}$ и $-L$.

Перемещение первого рыбака ($m_1$) относительно лодки происходит в положительном направлении оси ОХ. Его полное перемещение относительно берега равно сумме перемещения лодки и его перемещения относительно лодки: $\Delta x_1 = \Delta x + L$.

Перемещение второго рыбака ($m_2$) относительно лодки происходит в отрицательном направлении. Его полное перемещение относительно берега: $\Delta x_2 = \Delta x - L$.

Условие сохранения положения центра масс для смещений можно записать в виде:

$m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 + m_л \Delta x = 0$

Подставим в это уравнение выражения для $\Delta x_1$ и $\Delta x_2$:

$m_1 (\Delta x + L) + m_2 (\Delta x - L) + m_л \Delta x = 0$

Раскроем скобки и преобразуем выражение, чтобы найти $\Delta x$:

$m_1 \Delta x + m_1 L + m_2 \Delta x - m_2 L + m_л \Delta x = 0$

$(m_1 + m_2 + m_л) \Delta x = m_2 L - m_1 L$

$(m_1 + m_2 + m_л) \Delta x = (m_2 - m_1) L$

$\Delta x = \frac{(m_2 - m_1) L}{m_1 + m_2 + m_л}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta x = \frac{(105 \text{ кг} - 70 \text{ кг}) \cdot 5 \text{ м}}{70 \text{ кг} + 105 \text{ кг} + 280 \text{ кг}} = \frac{35 \cdot 5}{455} = \frac{175}{455} \text{ м}$

$\Delta x \approx 0.3846 \text{ м}$

Результат, округленный до сотых, составляет 0.38 м, что равно 38 см.

Поскольку значение $\Delta x$ получилось положительным, смещение лодки происходит в положительном направлении оси ОХ. Мы выбрали это направление от более легкого рыбака к более тяжелому. Следовательно, лодка сместится в сторону первоначального положения более тяжелого рыбака.

Ответ: лодка сместится на 38 см в сторону первоначального положения более тяжелого рыбака.