Номер 5, страница 117, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Ракета, имеющая вместе с зарядом массу 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 125 м. Найдите скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание происходит мгновенно. Масса заряда 50 г.

(Ответ: 200 м/с)

Дано:

$M = 250$ г (общая масса ракеты с зарядом)

$m_г = 50$ г (масса заряда)

$h = 125$ м (высота подъема)

$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

$M = 0.25$ кг

$m_г = 0.05$ кг

Найти:

$\text{u}$ - скорость истечения газов.

Решение:

Процесс можно разделить на два этапа. Сначала, используя закон сохранения энергии, найдем начальную скорость, которую ракета получила сразу после старта. Затем, применив закон сохранения импульса к моменту старта, найдем скорость истечения газов.

1. Определение начальной скорости ракеты ($v_р$).

После мгновенного сгорания топлива ракета (уже без топлива) начинает движение вверх с начальной скоростью $v_р$. В процессе подъема ее кинетическая энергия превращается в потенциальную. На максимальной высоте $\text{h}$ вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную. По закону сохранения энергии:

$E_к = E_п$

$\frac{m_р v_р^2}{2} = m_р g h$

где $m_р$ - масса ракеты без заряда. Массу $m_р$ можно сократить:

$v_р^2 = 2gh$

$v_р = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_р = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 125 \text{ м}} = \sqrt{2500 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 50 \text{ м/с}$

2. Определение скорости истечения газов ($\text{u}$).

Рассмотрим систему "ракета + заряд" в момент старта. Так как сгорание происходит мгновенно, внешними силами (в частности, силой тяжести) за этот малый промежуток времени можно пренебречь, и систему можно считать замкнутой. До старта ракета покоилась, поэтому начальный импульс системы равен нулю.

По закону сохранения импульса, суммарный импульс системы после сгорания заряда также должен быть равен нулю. Это означает, что импульс, полученный ракетой, и импульс, полученный газами, равны по модулю и противоположны по направлению.

$p_р = p_г$

Масса ракеты после сгорания заряда:

$m_р = M - m_г = 250 \text{ г} - 50 \text{ г} = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Импульс ракеты равен $p_р = m_р v_р$.

Импульс газов равен $p_г = m_г u$, где $\text{u}$ — скорость истечения газов относительно ракеты.

Приравняем модули импульсов:

$m_р v_р = m_г u$

Выразим искомую скорость истечения газов:

$u = \frac{m_р}{m_г} v_р$

Подставим значения:

$u = \frac{0.2 \text{ кг}}{0.05 \text{ кг}} \cdot 50 \text{ м/с} = 4 \cdot 50 \text{ м/с} = 200 \text{ м/с}$

Ответ: 200 м/с.