Номер 6, страница 123, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*6. Какую работу необходимо совершить, чтобы волоком перетащить цепочку массой $\text{m}$ и длиной $\text{l}$ с одной полуплоскости на другую? Коэффициент трения цепочки о первую полуплоскость равен $\mu_1$, о вторую — $\mu_2$. Цепочка располагалась вначале так, как показано на рисунке 19.5.

(Ответы. $A = \frac{1}{2}mgl(\mu_1 + \mu_2)$)

Рис. 19.5

Дано:

Масса цепочки: $\text{m}$

Длина цепочки: $\text{l}$

Коэффициент трения на первой поверхности: $\mu_1$

Коэффициент трения на второй поверхности: $\mu_2$

Найти:

Работу $\text{A}$.

Решение:

Работу, необходимую для перемещения цепочки, можно вычислить как работу против сил трения. Предполагается, что цепочку перемещают медленно, без ускорения, поэтому приложенная сила в каждый момент времени равна силе трения.

Цепочка однородна, поэтому её масса распределена равномерно по длине. Линейная плотность массы цепочки равна $\rho = \frac{m}{l}$.

Рассмотрим промежуточное положение, когда часть цепочки длиной $\text{x}$ уже находится на второй полуплоскости (с коэффициентом трения $\mu_2$), а оставшаяся часть длиной $(l-x)$ всё ещё находится на первой полуплоскости (с коэффициентом трения $\mu_1$). Перемещение $\text{x}$ изменяется от $\text{0}$ до $\text{l}$.

Масса части цепочки на первой поверхности: $m_1 = \rho (l-x) = \frac{m}{l}(l-x)$.

Сила трения, действующая на эту часть: $F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 m_1 g = \mu_1 \frac{mg}{l}(l-x)$.

Масса части цепочки на второй поверхности: $m_2 = \rho x = \frac{m}{l}x$.

Сила трения, действующая на эту часть: $F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 m_2 g = \mu_2 \frac{mg}{l}x$.

Суммарная сила трения $F_{тр}(x)$, действующая на цепочку в данный момент, равна сумме сил трения на обеих частях: $F_{тр}(x) = F_{тр1} + F_{тр2} = \mu_1 \frac{mg}{l}(l-x) + \mu_2 \frac{mg}{l}x$.

Приложенная сила $F(x)$ равна по модулю силе трения: $F(x) = F_{тр}(x)$.

Элементарная работа $dA$, совершаемая при перемещении цепочки на малое расстояние $dx$, равна $dA = F(x)dx$. Полная работа $\text{A}$ равна интегралу от этой силы по всему пути перемещения от $x=0$ до $x=l$:

$A = \int_{0}^{l} F(x)dx = \int_{0}^{l} \left( \mu_1 \frac{mg}{l}(l-x) + \mu_2 \frac{mg}{l}x \right) dx$

Вынесем константу $\frac{mg}{l}$ за знак интеграла:

$A = \frac{mg}{l} \int_{0}^{l} (\mu_1(l-x) + \mu_2 x) dx = \frac{mg}{l} \int_{0}^{l} (\mu_1 l - \mu_1 x + \mu_2 x) dx$

$A = \frac{mg}{l} \int_{0}^{l} (\mu_1 l + (\mu_2 - \mu_1)x) dx$

Теперь вычислим определённый интеграл:

$A = \frac{mg}{l} \left[ \mu_1 l x + (\mu_2 - \mu_1) \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{l}$

Подставляем пределы интегрирования:

$A = \frac{mg}{l} \left( \left( \mu_1 l \cdot l + (\mu_2 - \mu_1) \frac{l^2}{2} \right) - \left( \mu_1 l \cdot 0 + (\mu_2 - \mu_1) \frac{0^2}{2} \right) \right)$

$A = \frac{mg}{l} \left( \mu_1 l^2 + \frac{\mu_2 l^2}{2} - \frac{\mu_1 l^2}{2} \right)$

Упрощаем выражение:

$A = \frac{mg}{l} \left( \frac{\mu_1 l^2}{2} + \frac{\mu_2 l^2}{2} \right) = \frac{mg}{l} \cdot \frac{l^2}{2} (\mu_1 + \mu_2)$

$A = \frac{1}{2} mgl(\mu_1 + \mu_2)$

Ответ: $A = \frac{1}{2}mgl(\mu_1 + \mu_2)$.