Номер 5, страница 123, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*5. На горизонтальной плоскости лежит брусок массой $m = 2$ кг. К бруску прикреплена пружина жесткостью $k = 100$ Н/м. Вначале пружина не деформирована. Затем к свободному концу пружины приложили силу $\vec{F}$ (рис. 19.4). Какую работу совершит сила к моменту, когда брусок начнет скользить? Сила направлена под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Коэффициент трения бруска о плоскость $\mu = 0,5$.

(Ответ: 0,4 Дж)

Дано:

$m = 2$ кг

$k = 100$ Н/м

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0,5$

$g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

$A_F$ - ?

Решение:

Работа, совершаемая силой $\text{F}$, приложенной к свободному концу пружины, идет на растяжение пружины. Эта работа равна потенциальной энергии, накопленной в пружине к моменту, когда брусок начнет скользить.

Брусок начнет скользить, когда горизонтальная составляющая силы упругости пружины $F_{упр}$ станет равной максимальной силе трения покоя $F_{тр.макс}$. Сила упругости пружины $F_{упр}$ равна по модулю приложенной силе $\text{F}$, так как пружина считается невесомой. Таким образом, $F_{упр} = F$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат в момент, когда брусок готов начать движение. Ось $OX$ направим горизонтально вправо, а ось $OY$ – вертикально вверх.

Сумма проекций сил на ось $OY$:

$N + F \cdot \sin(\alpha) - mg = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры $\text{N}$:

$N = mg - F \cdot \sin(\alpha)$

Сумма проекций сил на ось $OX$:

$F \cdot \cos(\alpha) - F_{тр.макс} = 0$

Максимальная сила трения покоя определяется как $F_{тр.макс} = \mu N$.

Подставим выражение для $\text{N}$ в формулу для силы трения и в уравнение для оси $OX$:

$F \cdot \cos(\alpha) = \mu (mg - F \cdot \sin(\alpha))$

Раскроем скобки и выразим силу $\text{F}$:

$F \cdot \cos(\alpha) = \mu mg - \mu F \cdot \sin(\alpha)$

$F \cdot \cos(\alpha) + \mu F \cdot \sin(\alpha) = \mu mg$

$F(\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)) = \mu mg$

$F = \frac{\mu mg}{\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)}$

Подставим числовые значения для нахождения силы $\text{F}$:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0,5$

$F = \frac{0,5 \cdot 2 \cdot 10}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 0,5 \cdot 0,5} = \frac{10}{0,866 + 0,25} = \frac{10}{1,116} \approx 8,96$ Н

Работа, совершаемая внешней силой $\text{F}$ при растяжении пружины, равна запасенной в пружине потенциальной энергии:

$A_F = E_p = \frac{k x^2}{2}$

Согласно закону Гука, сила упругости $F = kx$, где $\text{x}$ — удлинение пружины. Отсюда $x = \frac{F}{k}$.

Подставим выражение для $\text{x}$ в формулу для работы:

$A_F = \frac{k (\frac{F}{k})^2}{2} = \frac{k F^2}{2k^2} = \frac{F^2}{2k}$

Теперь вычислим работу:

$A_F = \frac{(8,96 \text{ Н})^2}{2 \cdot 100 \text{ Н/м}} = \frac{80,28}{200} \approx 0,4014$ Дж

Округляя до десятых, получаем $0,4$ Дж.

Ответ: $A_F \approx 0,4$ Дж.