Номер 2, страница 122, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Для подъема судов на более высокий уровень насосы перекачивают воду из нижней ступени канала в камеру шлюза. Одинаковую ли работу совершают насосы, когда в камере находится большой теплоход или маленькая лодка?

Решение

Для ответа на этот вопрос необходимо определить, от чего зависит работа, совершаемая насосами. Работа насосов $\text{A}$ идет на увеличение потенциальной энергии системы «судно + вода» в камере шлюза.

Работа, совершаемая для подъема тела, равна изменению его потенциальной энергии. В данном случае система состоит из двух частей: судна и воды, которую закачивают в шлюз. Общая работа будет суммой работ по увеличению потенциальной энергии судна и потенциальной энергии воды.

Введем обозначения:

• $m_{\text{судно}}$ – масса судна (теплохода или лодки).
• $\text{h}$ – высота, на которую поднимается уровень воды в шлюзе.
• $\text{S}$ – площадь поперечного сечения камеры шлюза.
• $\rho_{\text{воды}}$ – плотность воды.
• $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

1. Потенциальная энергия судна увеличивается, так как его поднимают на высоту $\text{h}$. Изменение потенциальной энергии судна: $ \Delta E_{p, \text{судно}} = m_{\text{судно}} \cdot g \cdot h $

2. Насосы закачивают в шлюз воду, чтобы поднять уровень. Найдем массу этой воды. Согласно закону Архимеда, плавающее судно вытесняет объем воды, масса которой равна массе судна. Объем погруженной части судна: $ V_{\text{погруж}} = \frac{m_{\text{судно}}}{\rho_{\text{воды}}} $

Чтобы поднять уровень на высоту $\text{h}$, необходимо заполнить водой объем $S \cdot h$. Часть этого объема уже занята погруженной частью судна. Таким образом, объем воды, который необходимо закачать в шлюз, равен: $ V_{\text{воды}} = S \cdot h - V_{\text{погруж}} = S \cdot h - \frac{m_{\text{судно}}}{\rho_{\text{воды}}} $

Масса этой воды: $ m_{\text{воды}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{воды}} = \rho_{\text{воды}} \cdot (S \cdot h - \frac{m_{\text{судно}}}{\rho_{\text{воды}}}) = \rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot h - m_{\text{судно}} $

3. Вода заполняет шлюз, поднимаясь на высоту $\text{h}$. Центр масс этой воды поднимется на высоту $h/2$. Следовательно, изменение потенциальной энергии закачанной воды составит: $ \Delta E_{p, \text{вода}} = m_{\text{воды}} \cdot g \cdot \frac{h}{2} = (\rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot h - m_{\text{судно}}) \cdot g \cdot \frac{h}{2} $

4. Общая работа $\text{A}$ равна сумме изменений потенциальной энергии судна и воды: $ A = \Delta E_{p, \text{судно}} + \Delta E_{p, \text{вода}} $ $ A = m_{\text{судно}} \cdot g \cdot h + (\rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot h - m_{\text{судно}}) \cdot g \cdot \frac{h}{2} $

Раскроем скобки и упростим выражение: $ A = m_{\text{судно}} \cdot g \cdot h + \frac{1}{2}\rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot g \cdot h^2 - \frac{1}{2}m_{\text{судно}} \cdot g \cdot h $ $ A = \frac{1}{2}m_{\text{судно}} \cdot g \cdot h + \frac{1}{2}\rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot g \cdot h^2 $

Из полученной формулы видно, что работа $\text{A}$ зависит от массы судна $m_{\text{судно}}$. Второй член в формуле ($\frac{1}{2}\rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot g \cdot h^2$) является константой для данного шлюза, а первый член ($\frac{1}{2}m_{\text{судно}} \cdot g \cdot h$) прямо пропорционален массе судна.

Следовательно, чем больше масса судна, тем большую работу должны совершить насосы. Для подъема большого теплохода потребуется больше работы, чем для подъема маленькой лодки.

Ответ: Нет, работа, совершаемая насосами, не одинакова. Для подъема большого теплохода насосы совершат большую работу, чем для подъема маленькой лодки, так как совершаемая работа прямо зависит от массы поднимаемого судна.