Номер 2, страница 180, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Как вывести уравнение состояния идеального газа?

2. Уравнение состояния идеального газа, также известное как уравнение Менделеева-Клапейрона, можно вывести на основе положений молекулярно-кинетической теории (МКТ).

Решение

1. Начнем с основного уравнения МКТ для давления идеального газа. Давление $\text{p}$, которое газ оказывает на стенки сосуда, связано с микроскопическими параметрами его молекул:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

где:

$\text{n}$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема, $n = \frac{N}{V}$),

$m_0$ – масса одной молекулы,

$\overline{v^2}$ – средний квадрат скорости хаотического движения молекул.

2. Далее, используем определение абсолютной температуры $\text{T}$ в МКТ. Температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул:

$\overline{E_k} = \frac{1}{2} m_0 \overline{v^2} = \frac{3}{2} kT$

где $\text{k}$ – постоянная Больцмана ($k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К), фундаментальная физическая константа.

3. Из второго уравнения выразим произведение $m_0 \overline{v^2}$:

$m_0 \overline{v^2} = 3kT$

4. Подставим полученное выражение в формулу для давления:

$p = \frac{1}{3} n (3kT) = nkT$

Это уже одна из форм уравнения состояния, связывающая давление, температуру и концентрацию молекул.

5. Для перехода к макроскопическим параметрам, заменим концентрацию $\text{n}$ на ее определение через общее число молекул $\text{N}$ и объем сосуда $\text{V}$:

$p = \frac{N}{V} kT$

Перенеся объем $\text{V}$ в левую часть, получаем:

$pV = NkT$

6. В химии и термодинамике часто удобнее оперировать не числом молекул, а количеством вещества $\nu$ (измеряется в молях). Связь между ними осуществляется через постоянную Авогадро $N_A$ ($N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹):

$N = \nu N_A$

Подставим это в наше уравнение:

$pV = \nu N_A k T$

7. Произведение двух фундаментальных констант – постоянной Авогадро $N_A$ и постоянной Больцмана $\text{k}$ – также является константой. Эту новую константу назвали универсальной газовой постоянной и обозначили буквой $\text{R}$:

$R = N_A k \approx (6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}) \cdot (1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}) \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

8. Заменив произведение $N_A k$ на $\text{R}$, мы получаем окончательный, наиболее известный вид уравнения состояния идеального газа:

$pV = \nu RT$

Также, используя формулу для количества вещества $\nu = \frac{m}{M}$ (где $\text{m}$ – масса газа, $\text{M}$ – его молярная масса), можно записать уравнение в виде:

$pV = \frac{m}{M} RT$

Ответ: Уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$ выводится из основного уравнения МКТ для давления $p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$ и определения температуры как меры средней кинетической энергии молекул $\overline{E_k} = \frac{3}{2} kT$. Путем математических преобразований и введения универсальной газовой постоянной $R = N_A k$ получается искомое уравнение, связывающее макропараметры газа: давление $\text{p}$, объем $\text{V}$ и температуру $\text{T}$.

3. Газовая постоянная $\text{R}$ в уравнении состояния идеального газа называется универсальной, потому что ее значение одинаково для всех газов, независимо от их химического состава, строения молекул и других индивидуальных свойств.

Это свойство универсальности напрямую следует из определения самой константы. Универсальная газовая постоянная $\text{R}$ является произведением двух других фундаментальных физических констант:

$R = N_A \cdot k$

где:

$N_A$ – постоянная Авогадро. Она определяет число структурных единиц (атомов, молекул) в одном моле вещества. По определению, ее значение не зависит от вида вещества и является строго фиксированным ($N_A \approx 6,022 \times 10^{23}$ моль⁻¹). Это универсальная константа.

$\text{k}$ – постоянная Больцмана. Она устанавливает связь между энергией частиц и температурой. Это одна из фундаментальных констант в физике, и ее значение также не зависит от типа частиц или вещества ($k \approx 1,38 \times 10^{-23}$ Дж/К). Это также универсальная константа.

Поскольку универсальная газовая постоянная $\text{R}$ является произведением двух универсальных констант ($N_A$ и $\text{k}$), она сама по себе является универсальной. Ее значение $R \approx 8,314$ Дж/(моль·К) применяется к любому газу, поведение которого близко к модели идеального газа.

Благодаря универсальности $\text{R}$, уравнение $pV = \nu RT$ позволяет делать обобщенные выводы. Например, согласно закону Авогадро, который является следствием этого уравнения, один моль любого идеального газа при одинаковых условиях (давлении и температуре) занимает один и тот же объем.

Следует отличать универсальную газовую постоянную $\text{R}$ от удельной газовой постоянной $R_s$, которая как раз зависит от природы газа. Удельная газовая постоянная вычисляется по формуле:

$R_s = \frac{R}{M}$

где $\text{M}$ – молярная масса конкретного газа. Так как молярная масса $\text{M}$ у разных газов разная (например, у водорода H₂ она ~2 г/моль, а у углекислого газа CO₂ ~44 г/моль), то и значение $R_s$ для них будет различным.

Ответ: Газовая постоянная $\text{R}$ называется универсальной, так как ее значение не зависит от химической природы газа и является одинаковым для всех идеальных газов. Это обусловлено тем, что она определяется как произведение двух фундаментальных (универсальных) физических констант: постоянной Авогадро $N_A$ и постоянной Больцмана $\text{k}$.