Номер 1, страница 181, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

1. Почему при одинаковом давлении горячий воздух легче холодного?

1. Почему при одинаковом давлении горячий воздух легче холодного?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Понятие "легче" в данном контексте означает "имеет меньшую плотность". Мы докажем, что при одинаковом давлении плотность горячего воздуха меньше плотности холодного.

Дано:

Рассмотрим два состояния воздуха:

1. Горячий воздух с температурой $T_г$ и плотностью $\rho_г$.

2. Холодный воздух с температурой $T_х$ и плотностью $\rho_х$.

По условию, давление в обоих случаях одинаково: $P_г = P_х = P$.

Температура горячего воздуха выше, чем холодного: $T_г > T_х$.

Молярная масса воздуха $\text{M}$ в обоих случаях одинакова.

Найти:

Доказать, что $\rho_г < \rho_х$.

Решение:

Уравнение состояния идеального газа, известное как уравнение Менделеева-Клапейрона, связывает давление $\text{P}$, объем $\text{V}$, массу газа $\text{m}$ и его абсолютную температуру $\text{T}$:

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{M}$ – молярная масса газа (для воздуха это усредненное значение), а $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объему:

$\rho = \frac{m}{V}$

Выразим плотность из уравнения Менделеева-Клапейрона. Для этого преобразуем его, разделив обе части на $\text{V}$:

$P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M}$

Заменим отношение $\frac{m}{V}$ на плотность $\rho$:

$P = \rho \frac{RT}{M}$

Отсюда выразим плотность $\rho$:

$\rho = \frac{PM}{RT}$

Из полученной формулы видно, что при постоянном давлении ($P=const$) и для одного и того же газа ($M=const$), плотность $\rho$ обратно пропорциональна его абсолютной температуре $\text{T}$:

$\rho \sim \frac{1}{T}$

Это означает, что чем выше температура газа, тем ниже его плотность.

Теперь сравним плотности горячего и холодного воздуха. Так как по условию $T_г > T_х$, а плотность обратно пропорциональна температуре, то для их плотностей будет выполняться обратное соотношение:

$\rho_г < \rho_х$

Это происходит потому, что в выражении $\rho = \frac{PM}{RT}$ при увеличении температуры $\text{T}$ увеличивается знаменатель, что приводит к уменьшению значения всей дроби (плотности).

Интуитивно это можно объяснить так: при нагревании молекулы воздуха начинают двигаться с большей скоростью и энергией. Чтобы сохранить давление постоянным (то есть чтобы сила и частота ударов молекул о воображаемую поверхность не изменились), расстояние между молекулами должно увеличиться. Это приводит к тому, что в том же объеме оказывается меньше молекул, а значит, и масса газа в этом объеме становится меньше. Уменьшение массы в единице объема и есть уменьшение плотности.

Ответ: Горячий воздух легче (имеет меньшую плотность), чем холодный, потому что согласно уравнению состояния идеального газа, при постоянном давлении плотность газа обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Следовательно, с повышением температуры плотность воздуха уменьшается.