Номер 4, страница 181, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*4. Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона, $2 \text{ кг/м}^3$ при давлении $150 \text{ кПа}$ и температуре $27^\circ \text{С}$. Сколько атомов гелия содержится в газовой смеси объемом $1 \text{ см}^3$?

(Ответ: $6,8 \cdot 10^{18} \text{ см}^3$)

Дано:

Плотность смеси, $\rho = 2$ кг/м³

Давление, $P = 150 \text{ кПа} = 150 \cdot 10^3$ Па

Температура, $t = 27° \text{C}$

Объем, $V = 1 \text{ см}^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

Молярная масса гелия, $M_{He} = 4 \text{ г/моль} = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Молярная масса аргона, $M_{Ar} = 40 \text{ г/моль} = 40 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Число Авогадро, $N_A \approx 6.02 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

Перевод в СИ: $T = 27 + 273 = 300$ К

Найти: $N_{He}$ - число атомов гелия в объеме $\text{V}$.

Решение:

Газовая смесь гелия и аргона может быть описана уравнением состояния идеального газа, если использовать среднюю молярную массу смеси $M_{см}$. Уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси газов имеет вид: $P V_{общ} = \frac{m_{общ}}{M_{см}}RT$

Учитывая, что плотность смеси $\rho = \frac{m_{общ}}{V_{общ}}$, уравнение можно переписать как: $P = \frac{\rho}{M_{см}}RT$

Из этого уравнения мы можем найти среднюю молярную массу газовой смеси: $M_{см} = \frac{\rho RT}{P}$

Подставим числовые значения: $M_{см} = \frac{2 \text{ кг/м}^3 \cdot 8.31 \mathrm{Дж/(моль \cdot К)} \cdot 300 \text{ К}}{150 \cdot 10^3 \text{ Па}} = \frac{4986}{150000} \approx 0.03324$ кг/моль.

С другой стороны, средняя молярная масса смеси определяется молярными массами ее компонентов и их молярными долями. Пусть $\text{x}$ — молярная доля гелия, а $(1-x)$ — молярная доля аргона. Тогда: $M_{см} = x \cdot M_{He} + (1-x) \cdot M_{Ar}$

Выразим из этого уравнения молярную долю гелия $\text{x}$: $M_{см} = x \cdot M_{He} + M_{Ar} - x \cdot M_{Ar}$ $M_{см} - M_{Ar} = x(M_{He} - M_{Ar})$ $x = \frac{M_{см} - M_{Ar}}{M_{He} - M_{Ar}}$

Подставим значения молярных масс: $x = \frac{0.03324 - 0.04}{0.004 - 0.04} = \frac{-0.00676}{-0.036} \approx 0.188$

Молярная доля вещества в смеси равна отношению числа частиц этого вещества к общему числу частиц в смеси. Следовательно, чтобы найти число атомов гелия, нам нужно сначала найти общее число атомов в заданном объеме.

Найдем общее количество вещества (число молей) $n_{общ}$ в объеме $V = 1 \text{ см}^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$: $n_{общ} = \frac{PV}{RT} = \frac{150 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{8.31 \mathrm{Дж/(моль \cdot К)} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{0.15}{2493} \approx 6.017 \cdot 10^{-5}$ моль.

Общее число атомов $N_{общ}$ в этом объеме равно: $N_{общ} = n_{общ} \cdot N_A = 6.017 \cdot 10^{-5} \text{ моль} \cdot 6.02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 3.62 \cdot 10^{19}$ атомов.

Теперь мы можем найти число атомов гелия $N_{He}$, умножив общее число атомов на молярную долю гелия $\text{x}$: $N_{He} = x \cdot N_{общ}$ $N_{He} \approx 0.188 \cdot 3.62 \cdot 10^{19} \approx 0.68 \cdot 10^{19} = 6.8 \cdot 10^{18}$ атомов.

Ответ: в газовой смеси объемом 1 см³ содержится примерно $6.8 \cdot 10^{18}$ атомов гелия.