Номер 5, страница 180, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Выведите уравнение Менделеева—Клапейрона.

Решение

Уравнение Менделеева–Клапейрона (или уравнение состояния идеального газа) устанавливает зависимость между давлением, объемом и температурой для данной массы идеального газа. Его вывод основан на объединении нескольких эмпирически установленных газовых законов.

1. Исходной точкой является объединенный газовый закон (закон Клапейрона), который утверждает, что для постоянной массы газа отношение произведения давления $\text{p}$ на объем $\text{V}$ к абсолютной температуре $\text{T}$ является постоянной величиной:

$ \frac{pV}{T} = \text{const} $

Эта константа зависит от массы газа и его химической природы.

2. Следующий шаг — использование закона Авогадро. Согласно этому закону, один моль любого идеального газа при одинаковых условиях (одинаковых давлении и температуре) занимает одинаковый объем. Это означает, что константа в объединенном газовом законе должна быть пропорциональна количеству вещества (числу молей) $\nu$.

Рассмотрим 1 моль идеального газа. Для него уравнение примет вид:

$ \frac{p V_m}{T} = R $

где $V_m$ — это молярный объем (объем одного моля газа). Константа $\text{R}$ в этом случае является одинаковой для всех газов и называется универсальной газовой постоянной. Ее значение можно вычислить, используя известные значения $p, V_m, T$ при нормальных условиях ($p_0 = 101325$ Па, $T_0 = 273,15$ К, $V_{m,0} \approx 0,0224$ м$^3$/моль):

$ R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} $

Таким образом, для одного моля газа уравнение состояния имеет вид:

$ pV_m = RT $

3. Теперь обобщим это уравнение для произвольного количества вещества $\nu$. Если газ содержит $\nu$ молей, то его объем $\text{V}$ при тех же $\text{p}$ и $\text{T}$ будет в $\nu$ раз больше молярного объема $V_m$:

$ V = \nu V_m $

Отсюда молярный объем можно выразить как $V_m = V / \nu$. Подставим это выражение в уравнение для одного моля:

$ p \left( \frac{V}{\nu} \right) = RT $

Умножив обе части уравнения на $\nu$, получим уравнение состояния для $\nu$ молей газа:

$ pV = \nu RT $

4. Количество вещества $\nu$ связано с массой газа $\text{m}$ и его молярной массой $\text{M}$ соотношением:

$ \nu = \frac{m}{M} $

Подставив это выражение в предыдущее уравнение, мы получаем окончательную, наиболее известную форму уравнения Менделеева–Клапейрона:

$ pV = \frac{m}{M}RT $

Это уравнение связывает все макроскопические параметры идеального газа: давление, объем, массу, молярную массу и температуру.

Ответ: Уравнение Менделеева–Клапейрона, описывающее состояние идеального газа, имеет вид:

$ pV = \frac{m}{M}RT $

где $\text{p}$ — давление, $\text{V}$ — объем, $\text{m}$ — масса газа, $\text{M}$ — молярная масса газа, $\text{T}$ — абсолютная температура, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.