Номер 16, страница 189, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*16. В стеклянной трубке находится воздух, закрытый столбиком ртути длиной 8 см. Если держать трубку открытым концом вверх, то длина воздушного столбика составит 4 см, а если вниз, то его длина будет 5 см. Определите атмосферное давление.

(Ответ: 720 мм рт. ст.)

*16 Дано:

Длина столбика ртути, $h = 8$ см.

Длина воздушного столбика (трубка открытым концом вверх), $l_1 = 4$ см.

Длина воздушного столбика (трубка открытым концом вниз), $l_2 = 5$ см.

Переведем данные в систему СИ:

$h = 0.08$ м

$l_1 = 0.04$ м

$l_2 = 0.05$ м

Для расчетов нам понадобятся справочные величины:

Плотность ртути $\rho \approx 13600$ кг/м$^3$.

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$.

Найти:

Атмосферное давление $p_a$.

Решение:

Процесс сжатия и расширения воздуха в трубке можно считать изотермическим, так как температура воздуха не изменяется. Следовательно, к этому процессу применим закон Бойля-Мариотта, который гласит, что произведение давления газа на его объем остается постоянным: $p_1 V_1 = p_2 V_2$.

Объем воздуха в трубке пропорционален длине воздушного столбика, так как площадь поперечного сечения трубки $\text{S}$ постоянна: $V_1 = S \cdot l_1$ и $V_2 = S \cdot l_2$. Подставив это в закон Бойля-Мариотта, получим: $p_1 S l_1 = p_2 S l_2$ $p_1 l_1 = p_2 l_2$

Рассмотрим два состояния системы:

1. Трубка расположена открытым концом вверх. Давление воздуха в трубке $p_1$ равно сумме атмосферного давления $p_a$ и давления столбика ртути $p_{Hg}$: $p_1 = p_a + p_{Hg}$

2. Трубка расположена открытым концом вниз. Давление воздуха в трубке $p_2$ меньше атмосферного давления $p_a$ на величину давления столбика ртути $p_{Hg}$: $p_2 = p_a - p_{Hg}$

Подставим выражения для давлений $p_1$ и $p_2$ в уравнение $p_1 l_1 = p_2 l_2$: $(p_a + p_{Hg}) l_1 = (p_a - p_{Hg}) l_2$

Выразим из этого уравнения атмосферное давление $p_a$: $p_a l_1 + p_{Hg} l_1 = p_a l_2 - p_{Hg} l_2$ $p_a l_2 - p_a l_1 = p_{Hg} l_1 + p_{Hg} l_2$ $p_a (l_2 - l_1) = p_{Hg} (l_1 + l_2)$ $p_a = p_{Hg} \frac{l_1 + l_2}{l_2 - l_1}$

Давление столбика ртути $p_{Hg}$ рассчитывается по формуле $p_{Hg} = \rho g h$. Вычислим его значение в Паскалях: $p_{Hg} = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.08 \text{ м} = 10662.4 \text{ Па}$

Теперь подставим все значения в СИ в формулу для $p_a$: $p_a = 10662.4 \text{ Па} \cdot \frac{0.04 \text{ м} + 0.05 \text{ м}}{0.05 \text{ м} - 0.04 \text{ м}} = 10662.4 \text{ Па} \cdot \frac{0.09 \text{ м}}{0.01 \text{ м}} = 10662.4 \cdot 9 = 95961.6 \text{ Па}$

Для ответа требуется выразить давление в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.). Используем соотношение, что нормальное атмосферное давление $101325 \text{ Па}$ соответствует $760 \text{ мм рт. ст.}$: $p_a (\text{мм рт. ст.}) = p_a (\text{Па}) \cdot \frac{760 \text{ мм рт. ст.}}{101325 \text{ Па}}$ $p_a (\text{мм рт. ст.}) = 95961.6 \cdot \frac{760}{101325} \approx 720 \text{ мм рт. ст.}$

Ответ: атмосферное давление составляет 720 мм рт. ст.