Номер 15, страница 189, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*15. Посередине горизонтальной трубки, запаянной с обоих концов, находится столбик ртути длиной $h = 10 \text{ см}$. В обе половины трубки закачан воздух под давлением $p_0 = 760 \text{ мм рт. ст}$. Длина трубки $l = 1 \text{ м}$. На какое расстояние сместится столбик ртути, если трубку поставить вертикально?

(Ответ: 3 см)

Дано:

Длина трубки, $l = 1$ м

Длина столбика ртути, $h = 10$ см

Начальное давление воздуха, $p_0 = 760$ мм рт. ст.

$l = 1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

$h = 10 \text{ см}$

$p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}$

Найти:

$\text{x}$ — расстояние, на которое сместится столбик ртути.

Решение:

1. Рассмотрим начальное состояние, когда трубка расположена горизонтально. Столбик ртути находится посередине, поэтому объемы воздуха в левой и правой частях трубки равны. Длина каждого столба воздуха составляет:

$L_0 = \frac{l - h}{2} = \frac{100 \text{ см} - 10 \text{ см}}{2} = 45 \text{ см}$

Давление воздуха в обеих частях одинаково и равно $p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}$

2. Теперь рассмотрим конечное состояние, когда трубку поставили вертикально. Столбик ртути под действием силы тяжести сместится вниз на некоторое расстояние $\text{x}$. В результате объем воздуха над ртутью увеличится, а под ней — уменьшится. Процесс сжатия и расширения воздуха будем считать изотермическим, так как изменение температуры в условии не оговорено. Следовательно, для воздуха в трубке выполняется закон Бойля-Мариотта: $pV = \text{const}$.

3. Для верхнего столба воздуха:

Новая длина: $L_1 = L_0 + x = 45 + x$

Новое давление: $p_1$

По закону Бойля-Мариотта: $p_0 V_0 = p_1 V_1$. Так как площадь поперечного сечения трубки $\text{S}$ постоянна ($V=SL$), то $p_0 S L_0 = p_1 S L_1$, откуда

$p_1 = p_0 \frac{L_0}{L_1} = p_0 \frac{L_0}{L_0 + x}$

4. Для нижнего столба воздуха:

Новая длина: $L_2 = L_0 - x = 45 - x$

Новое давление: $p_2$

По закону Бойля-Мариотта: $p_0 V_0 = p_2 V_2$, откуда

$p_2 = p_0 \frac{L_0}{L_2} = p_0 \frac{L_0}{L_0 - x}$

5. В положении равновесия давление нижнего столба воздуха $p_2$ уравновешивает давление верхнего столба $p_1$ и давление, создаваемое столбиком ртути $p_{рт}$.

Давление столбика ртути высотой $h=10$ см составляет $p_{рт} = 100$ мм рт. ст.

Условие равновесия: $p_2 = p_1 + p_{рт}$

6. Подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в условие равновесия:

$p_0 \frac{L_0}{L_0 - x} = p_0 \frac{L_0}{L_0 + x} + p_{рт}$

Перенесем слагаемое с $p_0$ в левую часть:

$p_0 L_0 \left( \frac{1}{L_0 - x} - \frac{1}{L_0 + x} \right) = p_{рт}$

$p_0 L_0 \left( \frac{(L_0 + x) - (L_0 - x)}{(L_0 - x)(L_0 + x)} \right) = p_{рт}$

$p_0 L_0 \frac{2x}{L_0^2 - x^2} = p_{рт}$

7. Подставим числовые значения. Удобно использовать длины в сантиметрах, а давление в мм рт. ст.

$760 \cdot 45 \cdot \frac{2x}{45^2 - x^2} = 100$

$34200 \cdot \frac{2x}{2025 - x^2} = 100$

$68400x = 100(2025 - x^2)$

Разделим обе части на 100:

$684x = 2025 - x^2$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 + 684x - 2025 = 0$

8. Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 684^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2025) = 467856 + 8100 = 475956$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-684 \pm \sqrt{475956}}{2}$

$\sqrt{475956} \approx 689.9$

Так как смещение $\text{x}$ должно быть положительной величиной, выбираем корень со знаком "плюс":

$x = \frac{-684 + 689.9}{2} = \frac{5.9}{2} \approx 2.95 \text{ см}$

Полученное значение близко к значению, указанному в ответе к задаче (3 см). Разница может быть связана с округлением.

Ответ: $x \approx 2.95 \text{ см}$, что при округлении до целых дает 3 см.