Номер 8, страница 189, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

8. На сколько процентов увеличится средняя квадратичная скорость молекул водяного пара при повышении температуры от 37 до 40°C?

(Ответ: 48%)

8. Дано:

Начальная температура $t_1 = 37^\circ C$

Конечная температура $t_2 = 40^\circ C$

Переведем значения температуры в систему СИ (Кельвины), используя формулу $T = t + 273,15$. Для упрощения расчетов используем приближение $T = t + 273$.

$T_1 = 37 + 273 = 310 \text{ К}$

$T_2 = 40 + 273 = 313 \text{ К}$

Найти:

$\frac{v_2 - v_1}{v_1} \cdot 100\%$ — процентное увеличение средней квадратичной скорости.

Решение:

Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа ($\text{v}$) связана с его абсолютной температурой ($\text{T}$) следующим соотношением:

$v = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$

где $\text{k}$ — постоянная Больцмана, а $m_0$ — масса одной молекулы.

Из этой формулы следует, что средняя квадратичная скорость пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры:

$v \sim \sqrt{T}$

Пусть $v_1$ — начальная скорость при температуре $T_1$, а $v_2$ — конечная скорость при температуре $T_2$. Тогда мы можем записать отношение скоростей:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{\frac{3kT_2}{m_0}}}{\sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$

Процентное увеличение скорости $(\varepsilon)$ вычисляется по формуле:

$\varepsilon = \frac{v_2 - v_1}{v_1} \cdot 100\% = \left(\frac{v_2}{v_1} - 1\right) \cdot 100\%$

Подставим в эту формулу полученное ранее отношение скоростей:

$\varepsilon = \left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - 1\right) \cdot 100\%$

Теперь подставим числовые значения абсолютных температур:

$\varepsilon = \left(\sqrt{\frac{313}{310}} - 1\right) \cdot 100\%$

Произведем вычисления:

$\frac{313}{310} \approx 1.009677$

$\sqrt{1.009677} \approx 1.004827$

$\varepsilon = (1.004827 - 1) \cdot 100\% = 0.004827 \cdot 100\% \approx 0.48\%$

Ответ: средняя квадратичная скорость молекул водяного пара увеличится примерно на $0.48\%$.