Номер 6, страница 189, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Капелька воды, взвешенная в воздухе, движется со средней квадратичной скоростью $v_с \approx 1,7 \, \text{м/с}$. Радиускапли $10^{-6} \, \text{см}$. Найдите температуру воздуха.

(Ответ: $290 \, \text{K}$)

Дано:

Средняя квадратичная скорость капли, $v \approx 1,7$ м/с

Радиус капли, $R = 10^{-6}$ см

Плотность воды, $\rho = 1000$ кг/м³

Постоянная Больцмана, $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Перевод в систему СИ: $R = 10^{-6} \text{ см} = 10^{-6} \cdot 10^{-2} \text{ м} = 10^{-8}$ м

Найти:

Температуру воздуха, $\text{T}$.

Решение:

Капелька воды, взвешенная в воздухе, участвует в броуновском движении. Она находится в состоянии теплового равновесия с молекулами воздуха. Согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, средняя кинетическая энергия поступательного движения частицы определяется температурой среды.

Для частицы, движущейся в трехмерном пространстве, средняя кинетическая энергия $\text{<}e_k\text{>}$ равна: $\text{<}e_k\text{>} = \frac{3}{2} k T$ где $\text{k}$ – постоянная Больцмана, а $\text{T}$ – абсолютная температура.

С другой стороны, средняя кинетическая энергия выражается через массу частицы $\text{m}$ и ее среднюю квадратичную скорость $\text{v}$: $\text{<}e_k\text{>} = \frac{m v^2}{2}$

Приравнивая эти два выражения для энергии, получаем: $\frac{m v^2}{2} = \frac{3}{2} k T$

Из этого уравнения выразим температуру $\text{T}$: $T = \frac{m v^2}{3k}$

Массу капли $\text{m}$ можно найти, предположив, что она имеет форму шара. Масса равна произведению плотности воды $\rho$ на объем шара $\text{V}$: $m = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$

Вычислим массу капли: $m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (10^{-8} \text{ м})^3 \approx 4,19 \cdot 10^{-21}$ кг

Теперь вычислим температуру, подставив все известные значения: $T = \frac{(4,19 \cdot 10^{-21} \text{ кг}) \cdot (1,7 \text{ м/с})^2}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}}$ $T = \frac{4,19 \cdot 10^{-21} \cdot 2,89}{4,14 \cdot 10^{-23}} \text{ К} = \frac{12,1091}{4,14} \cdot 10^2 \text{ К} \approx 292,5$ К

Результат расчета ($ \approx 292,5$ К) очень близок к значению, приведенному в условии задачи в качестве ориентировочного ответа (290 К). Небольшое различие объясняется округлением как исходных данных в условии (скорость $v \approx 1,7$ м/с), так и физических констант (число $\pi$, постоянная Больцмана $\text{k}$) при вычислениях.

Ответ: $T \approx 292,5$ К.