Номер 5, страница 188, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Оцените среднее расстояние между молекулами газа при нормальных условиях.

(Ответ: 3,35 нм)

5. Дано:

Газ находится при нормальных условиях (н.у.). В качестве нормальных условий для данной оценки примем:

Давление $p_0 = 10^5$ Па

Температура $T_0 = 273$ К

Постоянная Больцмана $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Найти:

Среднее расстояние между молекулами $\langle r \rangle$.

Решение:

Для оценки среднего расстояния между молекулами газа $\langle r \rangle$ воспользуемся модельным представлением. Сначала найдем концентрацию молекул $\text{n}$ — число молекул в единице объема. Для этого используем уравнение состояния идеального газа в форме Клапейрона: $p = nkT$

Из этого уравнения выразим концентрацию молекул: $n = \frac{p_0}{kT_0}$

Подставим числовые значения для нормальных условий: $n = \frac{10^5 \text{ Па}}{1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 273 \text{ К}} \approx \frac{10^5}{3,7674 \cdot 10^{-21}} \approx 2,654 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Зная концентрацию, можно найти средний объем $V_0$, который приходится на одну молекулу: $V_0 = \frac{1}{n} = \frac{1}{2,654 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}} \approx 3,767 \cdot 10^{-26} \text{ м}^3$

Представим, что каждая молекула находится в центре воображаемой кубической ячейки объемом $V_0$. Тогда среднее расстояние между центрами соседних молекул (то есть среднее расстояние между молекулами) можно оценить как длину ребра этого куба $\text{a}$: $\langle r \rangle \approx a = \sqrt[3]{V_0}$

Вычислим это расстояние: $\langle r \rangle = \sqrt[3]{3,767 \cdot 10^{-26} \text{ м}^3} = \sqrt[3]{37,67 \cdot 10^{-27} \text{ м}^3} \approx 3,35 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Поскольку $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$, то среднее расстояние в нанометрах равно: $\langle r \rangle \approx 3,35 \text{ нм}$

Ответ: среднее расстояние между молекулами газа при нормальных условиях составляет примерно $3,35$ нм.