Номер 1, страница 188, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

1. При изотермическом сжатии объем газа уменьшился на $ \Delta V_1 = 2 \text{ л.} $ При этом его давление возросло на 20%. На сколько процентов увеличилось бы давление, если бы объем был уменьшен на $ \Delta V_2 = 4 \text{ л?} $

(Ответ: 50%)

1. Дано:

Процесс изотермический ($T = const$)

Уменьшение объёма в первом случае: $\Delta V_1 = 2 \text{ л}$

Увеличение давления в первом случае: $\frac{\Delta p_1}{p_1} = 20\% = 0.2$

Уменьшение объёма во втором случае: $\Delta V_2 = 4 \text{ л}$

$\Delta V_1 = 2 \text{ л} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$\Delta V_2 = 4 \text{ л} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

Процентное увеличение давления во втором случае: $\frac{\Delta p_2}{p_1} \cdot 100\%$

Решение:

Так как процесс изотермический, он подчиняется закону Бойля-Мариотта, согласно которому произведение давления газа на его объём остаётся постоянным: $pV = const$.

Обозначим начальное давление газа как $p_1$, а начальный объём как $V_1$.

Рассмотрим первый случай сжатия. Давление возросло на 20%, следовательно, новое давление $p'$ стало:

$p' = p_1 + 0.2 \cdot p_1 = 1.2p_1$

Объём при этом уменьшился на $\Delta V_1 = 2 \text{ л}$, то есть новый объём $V'$ стал:

$V' = V_1 - \Delta V_1 = V_1 - 2$

Согласно закону Бойля-Мариотта:

$p_1V_1 = p'V'$

Подставим выражения для $p'$ и $V'$:

$p_1V_1 = (1.2p_1)(V_1 - 2)$

Сократим обе части уравнения на $p_1$ (так как давление не равно нулю):

$V_1 = 1.2(V_1 - 2)$

$V_1 = 1.2V_1 - 2.4$

$1.2V_1 - V_1 = 2.4$

$0.2V_1 = 2.4$

$V_1 = \frac{2.4}{0.2} = 12 \text{ л}$

Таким образом, мы нашли начальный объём газа.

Теперь рассмотрим второй случай сжатия, который также начинается из исходного состояния ($p_1$, $V_1$). Объём уменьшается на $\Delta V_2 = 4 \text{ л}$. Новый объём $V''$ будет:

$V'' = V_1 - \Delta V_2 = 12 \text{ л} - 4 \text{ л} = 8 \text{ л}$

Пусть новое давление будет $p''$. Снова применим закон Бойля-Мариотта:

$p_1V_1 = p''V''$

Подставим известные значения $V_1$ и $V''$:

$p_1 \cdot 12 = p'' \cdot 8$

Выразим $p''$ через $p_1$:

$p'' = p_1 \cdot \frac{12}{8} = 1.5p_1$

Давление $p''$ в 1.5 раза больше начального давления $p_1$. Найдём, на сколько процентов увеличилось давление. Процентное увеличение рассчитывается по формуле:

$\frac{\Delta p_2}{p_1} \cdot 100\% = \frac{p'' - p_1}{p_1} \cdot 100\%$

Подставим выражение для $p''$:

$\frac{1.5p_1 - p_1}{p_1} \cdot 100\% = \frac{0.5p_1}{p_1} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$

Ответ: давление увеличилось бы на 50%.