Номер 11, страница 189, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

11. Электрическая лампа наполнена азотом при давлении $p_1 = 600 \text{ мм рт. ст.}$ Объем лампы $V = 500 \text{ см}^3$. Какая масса воды войдет в лампу, если под водой у нее отломить кончик при давлении $p_2 = 760 \text{ мм рт. ст}$?

(Ответ: 105 г)

Дано:

Начальное давление азота $p_1 = 600$ мм рт. ст.

Объем лампы $V = 500$ см³

Внешнее давление под водой $p_2 = 760$ мм рт. ст.

Плотность воды $\rho_{воды} \approx 1$ г/см³

Перевод в систему СИ:

Объем лампы $V = 500 \text{ см}^3 = 500 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 500 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Плотность воды $\rho_{воды} = 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Для давлений перевод в Паскали не является обязательным, так как в расчете будет использоваться их отношение, но для справки:

$p_1 = 600 \text{ мм рт. ст.} \approx 79993 \text{ Па}$

$p_2 = 760 \text{ мм рт. ст.} = 101325 \text{ Па}$ (нормальное атмосферное давление)

Найти:

Массу воды, вошедшей в лампу, $m_{воды}$.

Решение:

Когда кончик лампы отламывается под водой, вода устремляется внутрь, так как внешнее давление ($p_2$) больше, чем давление азота в лампе ($p_1$). Вода будет заполнять лампу, сжимая находящийся в ней азот. Этот процесс остановится, когда давление азота внутри лампы сравняется с внешним давлением воды, то есть станет равным $p_2$.

Будем считать, что температура газа в процессе сжатия не меняется (процесс изотермический), так как лампа находится в большом объеме воды, которая действует как термостат. В таком случае для азота в лампе применим закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где:

• $p_1$ – начальное давление азота;
• $V_1$ – начальный объем азота, равный объему лампы $\text{V}$;
• $p_2$ – конечное давление азота, равное внешнему давлению;
• $V_2$ – конечный объем, который занимает азот после сжатия.

Из этого закона можно выразить конечный объем азота $V_2$:

$V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2}$

Объем воды, вошедшей в лампу ($V_{воды}$), равен разности между полным объемом лампы и объемом, который остался занят сжатым азотом:

$V_{воды} = V_1 - V_2$

Подставим выражение для $V_2$:

$V_{воды} = V_1 - \frac{p_1 V_1}{p_2} = V_1 \left(1 - \frac{p_1}{p_2}\right)$

Теперь можно рассчитать этот объем. Заметим, что отношение давлений $\frac{p_1}{p_2}$ является безразмерной величиной, поэтому можно использовать значения в мм рт. ст.

$V_{воды} = 500 \text{ см}^3 \cdot \left(1 - \frac{600 \text{ мм рт. ст.}}{760 \text{ мм рт. ст.}}\right) = 500 \cdot \left(\frac{760 - 600}{760}\right) = 500 \cdot \frac{160}{760} = 500 \cdot \frac{16}{76} = 500 \cdot \frac{4}{19} \approx 105,26 \text{ см}^3$

Масса вошедшей воды находится через ее плотность $\rho_{воды}$ и объем $V_{воды}$:

$m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V_{воды}$

Подставляем значения, используя плотность воды $\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$:

$m_{воды} \approx 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 105,26 \text{ см}^3 \approx 105,26 \text{ г}$

Округляя результат до целого числа, получаем 105 г.

Ответ: в лампу войдет 105 г воды.