Номер 13, страница 189, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*13. Аэростатобъемом $V = 300 \text{ м}^3$ наполняется молекулярным водородом при температуре $T = 300 \text{ К}$ и давлении $p = 10^5 \text{ Па}$. Какое время будет затрачено на наполнение оболочки аэростата, если из баллонов каждую секунду переходит в аэростат $\Delta m = 25 \text{ г}$ водорода? До наполнения газом оболочка аэростата водорода не содержала. Газ считать идеальным.

(Ответ: 16 мин)

Дано:

Объем аэростата $V = 300 \text{ м}^3$

Температура водорода $T = 300 \text{ К}$

Давление водорода $p = 10^5 \text{ Па}$

Массовый расход водорода $\mu_m = 25 \text{ г/с} = 0.025 \text{ кг/с}$

Молярная масса молекулярного водорода ($H_2$) $M = 2 \text{ г/моль} = 0.002 \text{ кг/моль}$

Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$

Найти:

Время наполнения $\text{t}$.

Решение:

Чтобы найти время, необходимое для наполнения аэростата, сначала определим общую массу водорода $\text{m}$, которая требуется для создания заданных давления и температуры в указанном объеме. Поскольку водород считается идеальным газом, мы можем использовать уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона).

Уравнение имеет вид: $pV = \nu RT$ где $\nu$ – количество вещества газа в молях.

Количество вещества $\nu$ связано с массой газа $\text{m}$ и его молярной массой $\text{M}$ следующим соотношением: $\nu = \frac{m}{M}$

Подставим выражение для $\nu$ в уравнение состояния идеального газа: $pV = \frac{m}{M}RT$

Из этого уравнения выразим искомую массу $\text{m}$: $m = \frac{pVM}{RT}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи: $m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 300 \text{ м}^3 \cdot 0.002 \text{ кг/моль}}{8.31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 300 \text{ К}}$

Можно заметить, что значение температуры $T=300 \text{ К}$ в числителе и знаменателе сокращается, что упрощает расчет: $m = \frac{10^5 \cdot 0.002 \text{ кг}}{8.31} = \frac{200 \text{ кг}}{8.31} \approx 24.07 \text{ кг}$

Итак, для наполнения аэростата требуется примерно 24.07 кг водорода.

Известно, что водород поступает в аэростат с постоянной скоростью (массовым расходом) $\mu_m = 0.025 \text{ кг/с}$. Чтобы найти общее время наполнения $\text{t}$, нужно разделить общую массу $\text{m}$ на массовый расход $\mu_m$: $t = \frac{m}{\mu_m}$

Подставим значения и вычислим время в секундах: $t = \frac{24.07 \text{ кг}}{0.025 \text{ кг/с}} \approx 962.8 \text{ с}$

Для удобства переведем время из секунд в минуты, разделив полученное значение на 60: $t = \frac{962.8 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 16.05 \text{ мин}$

Округляя результат до целого числа, получаем 16 минут.

Ответ: 16 мин.