Номер 6, страница 212, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*6. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях $\rho = 1,43 \text{ кг/м}^3$. Найти удельные теплоемкости $C_p$ и $C_v$ этого газа.

(Ответ: $C_v = 650 \frac{\text{Дж}}{(\text{кг} \cdot \text{К})}$; $C_p = 910 \frac{\text{Дж}}{(\text{кг} \cdot \text{К})}$)

Дано:

Газ – двухатомный

Плотность газа при нормальных условиях: $ \rho = 1,43 \text{ кг/м³} $

Нормальные условия (н.у.) подразумевают:

Давление: $ p_0 = 101325 \text{ Па} $

Температура: $ T_0 = 273,15 \text{ К} $

Найти:

$ C_V $ — удельная теплоемкость при постоянном объеме

$ C_p $ — удельная теплоемкость при постоянном давлении

Решение:

Удельные теплоемкости ($ C_V $ и $ C_p $) связаны с молярными теплоемкостями ($ c_V $ и $ c_p $) через молярную массу газа $ M $:

$ C_V = \frac{c_V}{M} $

$ C_p = \frac{c_p}{M} $

Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме определяется как $ c_V = \frac{i}{2}R $, где $ i $ — число степеней свободы молекул газа, а $ R $ — универсальная газовая постоянная ($ R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} $).

Для двухатомного газа число степеней свободы $ i = 5 $ (три поступательные и две вращательные).

Следовательно, $ c_V = \frac{5}{2}R $.

Молярная теплоемкость при постоянном давлении связана с $ c_V $ уравнением Майера: $ c_p = c_V + R $.

Тогда $ c_p = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R $.

Чтобы найти удельные теплоемкости, необходимо определить молярную массу $ M $ газа. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$ pV = \frac{m}{M}RT $

Выразим из него молярную массу, используя определение плотности $ \rho = \frac{m}{V} $:

$ pM = \frac{m}{V}RT \Rightarrow pM = \rho RT \Rightarrow M = \frac{\rho RT}{p} $

Подставим значения для нормальных условий:

$ M = \frac{1,43 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 273,15 \text{ К}}{101325 \text{ Па}} \approx 0,032 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} $

Теперь можем рассчитать удельные теплоемкости.

Удельная теплоемкость при постоянном объеме:

$ C_V = \frac{c_V}{M} = \frac{5R}{2M} = \frac{5 \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}}{2 \cdot 0,032 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \approx 649,2 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} $

Удельная теплоемкость при постоянном давлении:

$ C_p = \frac{c_p}{M} = \frac{7R}{2M} = \frac{7 \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}}{2 \cdot 0,032 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \approx 908,9 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} $

Округляя полученные значения, получаем результаты, близкие к приведенным в ответе.

Ответ: $ C_V \approx 650 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} $; $ C_p \approx 910 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} $.