Номер 1, страница 212, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Творите

Придумайте пример такого процесса, проводимого с идеальным газом, при котором его теплоемкость будет иметь отрицательное значение.

Решение

Теплоемкость системы $\text{C}$ по определению — это количество теплоты $\delta Q$, которое необходимо подвести к системе, чтобы изменить ее температуру на $dT$, деленное на это изменение температуры:

$C = \frac{\delta Q}{dT}$

Отрицательная теплоемкость ($C < 0$) означает, что знаки $\delta Q$ и $dT$ противоположны. То есть, при подводе тепла к газу ($\delta Q > 0$) его температура будет уменьшаться ($dT < 0$), или при отводе тепла ($\delta Q < 0$) его температура будет расти ($dT > 0$). На первый взгляд это кажется парадоксальным, но такой процесс возможен.

Рассмотрим такой процесс с точки зрения первого закона термодинамики для идеального газа:

$\delta Q = dU + \delta A$

где $\delta Q$ — сообщенное газу количество теплоты, $dU$ — изменение его внутренней энергии, $\delta A$ — работа, совершаемая газом.

Для $\nu$ молей идеального газа:

$dU = \nu C_{V} dT$, где $C_V$ — молярная теплоемкость при постоянном объеме.

$\delta A = P dV$, где $\text{P}$ — давление, $dV$ — изменение объема.

Подставим эти выражения в определение теплоемкости:

$C = \frac{\delta Q}{dT} = \frac{\nu C_V dT + P dV}{dT} = \nu C_V + P \frac{dV}{dT}$

Чтобы теплоемкость $\text{C}$ была отрицательной, необходимо выполнение условия:

$\nu C_V + P \frac{dV}{dT} < 0$

Поскольку $\nu, C_V, P$ — величины положительные, член $P \frac{dV}{dT}$ должен быть отрицательным и достаточно большим по модулю. Это означает, что производная $\frac{dV}{dT}$ должна быть отрицательной, то есть процесс должен сопровождаться расширением при охлаждении или сжатием при нагреве.

Примером такого процесса является политропный процесс, который описывается уравнением $PV^n = \text{const}$, где $\text{n}$ — показатель политропы.

Для политропного процесса молярная теплоемкость $C_m$ идеального газа постоянна и равна:

$C_m = C_V - \frac{R}{n-1}$

где $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

Найдем условие, при котором $C_m < 0$:

$C_V - \frac{R}{n-1} < 0 \implies C_V < \frac{R}{n-1}$

Рассмотрим два случая:

1. Если $n > 1$, то $n-1 > 0$. Умножим неравенство на $n-1$:

$C_V(n-1) < R \implies n-1 < \frac{R}{C_V} \implies n < 1 + \frac{R}{C_V}$

Используя соотношение Майера $R = C_P - C_V$ и определение показателя адиабаты $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$, получаем:

$1 + \frac{R}{C_V} = 1 + \frac{C_P-C_V}{C_V} = 1 + \frac{C_P}{C_V} - 1 = \frac{C_P}{C_V} = \gamma$

Таким образом, условие отрицательности теплоемкости: $1 < n < \gamma$.

2. Если $n < 1$, то $n-1 < 0$. При умножении неравенства на $n-1$ знак меняется:

$C_V(n-1) > R$. Это неравенство не может выполняться, так как левая часть отрицательна, а правая ($\text{R}$) — положительна.

Следовательно, теплоемкость идеального газа отрицательна в политропных процессах с показателем политропы $\text{n}$, лежащим в интервале между 1 (изотермический процесс) и $\gamma$ (адиабатный процесс).

Пример процесса:

Возьмем идеальный одноатомный газ. Для него показатель адиабаты $\gamma = 5/3 \approx 1.67$. Выберем показатель политропы $\text{n}$ в интервале $(1; 5/3)$, например, $n = 1.5$.

Рассмотрим процесс медленного расширения такого газа в цилиндре под поршнем, который протекает по закону $PV^{1.5} = \text{const}$. Поскольку газ расширяется ($dV > 0$), он совершает положительную работу $\delta A > 0$. Из уравнения политропы $TV^{n-1} = \text{const}$ следует, что при расширении ($\text{V}$ растет) и $n-1 = 0.5 > 0$, температура газа $\text{T}$ будет падать ($dT < 0$).

Процесс с $n > \gamma$ (адиабатный) происходит без теплообмена ($\delta Q=0$). В нашем случае $n < \gamma$, это означает, что газ расширяется "медленнее", чем при адиабатном процессе, и для поддержания такого процесса газу необходимо сообщать тепло ($\delta Q > 0$).

Физически это означает, что газ, расширяясь, совершает работу, которая по величине превышает подводимое к нему количество теплоты ($\delta A > \delta Q > 0$). Недостающая для совершения работы энергия черпается из внутренней энергии газа, что и приводит к его охлаждению ($dU < 0, dT < 0$).

Итак, мы имеем процесс, в котором к газу подводится тепло ($\delta Q > 0$), но его температура при этом падает ($dT < 0$). Следовательно, его теплоемкость $C = \frac{\delta Q}{dT}$ отрицательна.

Ответ: Примером процесса с отрицательной теплоемкостью является политропное расширение идеального газа, описываемое уравнением $PV^n = \text{const}$, где показатель политропы $\text{n}$ удовлетворяет условию $1 < n < \gamma$, где $\gamma$ — показатель адиабаты. В таком процессе газ расширяется, совершая работу, и при этом к нему подводится тепло, однако температура газа падает, так как работа, совершаемая газом, превышает количество подведенной теплоты.