Номер 1, страница 212, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Анализируйте

Процессы, при которых теплоемкость газа остается постоянной, называются политропными. Покажите, что все известные нам изопроцессы являются политропными.

Политропным называется процесс, в котором теплоемкость газа $\text{C}$ остается постоянной. Чтобы доказать, что все известные изопроцессы (изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный) являются политропными, необходимо для каждого из них определить теплоемкость и показать, что она является константой.

Для анализа будем использовать первое начало термодинамики, согласно которому количество теплоты $\text{Q}$, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $\text{A}$: $Q = \Delta U + A$

Теплоемкость процесса по определению равна $C = \frac{Q}{\Delta T}$. Изменение внутренней энергии идеального газа равно $\Delta U = C_V \Delta T$, где $C_V$ — теплоемкость данной массы газа при постоянном объеме.

Рассмотрим каждый изопроцесс в отдельности.

В изохорном процессе объем газа не меняется, следовательно, работа, совершаемая газом, равна нулю: $A = 0$. Тогда, согласно первому началу термодинамики, все подводимое тепло идет на изменение внутренней энергии: $Q = \Delta U = C_V \Delta T$. Теплоемкость процесса: $C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{C_V \Delta T}{\Delta T} = C_V$. Теплоемкость при постоянном объеме $C_V$ является постоянной величиной для данного газа. Следовательно, изохорный процесс является политропным.

В изобарном процессе давление газа постоянно. Работа, совершаемая газом, равна $A = P \Delta V$. Для идеального газа, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева ($PV = \nu RT$), при постоянном давлении $P \Delta V = \nu R \Delta T$. Первое начало термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Подставим выражения для $\Delta U$ и $\text{A}$: $Q = C_V \Delta T + \nu R \Delta T = (C_V + \nu R) \Delta T$. Теплоемкость при постоянном давлении $C_P$ определяется соотношением Майера как $C_P = C_V + \nu R$. Таким образом, $Q = C_P \Delta T$. Теплоемкость процесса: $C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{C_P \Delta T}{\Delta T} = C_P$. Теплоемкость при постоянном давлении $C_P$ является постоянной величиной для данного газа. Следовательно, изобарный процесс является политропным.

В изотермическом процессе температура газа остается постоянной, $\Delta T = 0$. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, ее изменение равно нулю: $\Delta U = 0$. Первое начало термодинамики принимает вид: $Q = A$. Если газ совершает работу ($A \neq 0$), то ему сообщается некоторое количество теплоты ($Q \neq 0$). Теплоемкость процесса определяется как $C = \frac{Q}{\Delta T}$. Поскольку $\Delta T = 0$, а $Q \neq 0$ (при $A \neq 0$), знаменатель в выражении для теплоемкости равен нулю. Это означает, что теплоемкость в изотермическом процессе стремится к бесконечности: $C \to \infty$. Бесконечность в данном контексте является постоянным значением (не изменяется в ходе процесса). Следовательно, изотермический процесс является политропным.

Адиабатным называется процесс, который протекает без теплообмена с окружающей средой. По определению, $Q = 0$. В ходе этого процесса температура может изменяться ($\Delta T \neq 0$), так как работа совершается за счет изменения внутренней энергии ($A = -\Delta U$). Теплоемкость процесса: $C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{0}{\Delta T} = 0$. Теплоемкость в адиабатном процессе равна нулю, что является постоянной величиной. Следовательно, адиабатный процесс является политропным.

Таким образом, мы показали, что для каждого из основных изопроцессов теплоемкость является постоянной величиной ($C=C_V$, $C=C_P$, $C \to \infty$, $C=0$ соответственно). Это доказывает, что все они являются политропными процессами.

Ответ: Все известные изопроцессы (изохорный, изобарный, изотермический, адиабатный) являются политропными, так как в каждом из этих процессов теплоемкость газа остается постоянной величиной. Для изохорного процесса теплоемкость равна теплоемкости при постоянном объеме $C_V$, для изобарного — теплоемкости при постоянном давлении $C_P$, для изотермического — стремится к бесконечности ($C \to \infty$), а для адиабатного — равна нулю ($C=0$). Все эти значения являются константами для конкретного процесса.