Номер 5, страница 212, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. При изотермическом расширении кислорода, содержавшего количество вещества $1 \text{ моль}$ и имевшего температуру $300 \text{ К}$, газу было передано количество теплоты $2 \text{ кДж}$. Во сколько раз увеличился объем газа?

(Ответ: в $2,23 \text{ раза}$)

5. Дано:

Процесс - изотермическое расширение ($T = \text{const}$)

Количество вещества кислорода, $ν = 1$ моль

Температура, $T = 300$ К

Количество теплоты, переданное газу, $Q = 2$ кДж

Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$Q = 2 \text{ кДж} = 2 \times 10^3 \text{ Дж} = 2000 \text{ Дж}$

Найти:

Отношение конечного объема к начальному, $\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, переданное системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $\text{A}$ над внешними телами:

$Q = \Delta U + A$

Процесс расширения газа является изотермическим, что означает, что его температура остается постоянной ($T = \text{const}$). Внутренняя энергия идеального газа является функцией только температуры. Так как температура не изменяется ($\Delta T = 0$), изменение внутренней энергии газа равно нулю:

$\Delta U = 0$

Следовательно, первый закон термодинамики для данного процесса упрощается и принимает вид:

$Q = A$

Это означает, что вся подведенная к газу теплота полностью переходит в работу, совершаемую газом при расширении.

Работа, совершаемая газом при изотермическом процессе от начального объема $V_1$ до конечного объема $V_2$, определяется по формуле:

$A = \nu R T \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

где $\nu$ - количество вещества, $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ - абсолютная температура, а $\ln$ - натуральный логарифм.

Приравнивая выражения для $\text{Q}$ и $\text{A}$, получаем уравнение:

$Q = \nu R T \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Из этого уравнения нам необходимо выразить искомое отношение объемов $\frac{V_2}{V_1}$. Для начала выразим натуральный логарифм этого отношения:

$\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \frac{Q}{\nu R T}$

Теперь подставим известные значения из условия задачи в правую часть уравнения:

$\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \frac{2000 \text{ Дж}}{1 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}} = \frac{2000}{2493} \approx 0,80225$

Чтобы найти само отношение объемов, необходимо выполнить операцию потенцирования, то есть возвести основание натурального логарифма (число Эйлера $\text{e}$) в полученную степень:

$\frac{V_2}{V_1} = e^{0,80225}$

Выполним вычисление:

$\frac{V_2}{V_1} \approx 2,2306$

Округляя до сотых, получаем, что объем газа увеличился в 2,23 раза.

Ответ: объем газа увеличился в 2,23 раза.