Номер 1, страница 267, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Наблюдайте

Рассмотрите, как изменится удлинение, если, не меняя нагрузки, проволоку заменить другой из такого же материала, имеющей вдвое большие длину и диаметр.

Дано:

Проволока 1: длина $l_1$, диаметр $d_1$, площадь поперечного сечения $S_1$, модуль Юнга $\text{E}$, нагрузка $\text{F}$.

Проволока 2: длина $l_2 = 2l_1$, диаметр $d_2 = 2d_1$, площадь поперечного сечения $S_2$, модуль Юнга $\text{E}$ (тот же материал), нагрузка $\text{F}$ (та же).

Найти:

Отношение удлинений $\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}$.

Решение:

Абсолютное удлинение $\Delta l$ проволоки под действием нагрузки $\text{F}$ описывается формулой, основанной на законе Гука для материалов:

$\Delta l = \frac{F \cdot l}{E \cdot S}$

где $\text{l}$ — начальная длина проволоки, $\text{S}$ — площадь её поперечного сечения, а $\text{E}$ — модуль Юнга, который зависит только от материала проволоки.

Для первой проволоки удлинение составляет:

$\Delta l_1 = \frac{F \cdot l_1}{E \cdot S_1}$

Площадь поперечного сечения $S_1$ связана с её диаметром $d_1$ соотношением: $S_1 = \frac{\pi d_1^2}{4}$.

Для второй проволоки, согласно условию, длина $l_2 = 2l_1$ и диаметр $d_2 = 2d_1$. Найдём её площадь поперечного сечения $S_2$:

$S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (2d_1)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 4d_1^2}{4} = 4 \cdot \left(\frac{\pi d_1^2}{4}\right) = 4S_1$

Таким образом, площадь поперечного сечения второй проволоки в 4 раза больше, чем у первой.

Теперь можем найти удлинение второй проволоки $\Delta l_2$, подставив в основную формулу её параметры $l_2$ и $S_2$:

$\Delta l_2 = \frac{F \cdot l_2}{E \cdot S_2} = \frac{F \cdot (2l_1)}{E \cdot (4S_1)}$

Вынесем числовые коэффициенты и сгруппируем оставшиеся члены:

$\Delta l_2 = \frac{2}{4} \cdot \left(\frac{F \cdot l_1}{E \cdot S_1}\right)$

Выражение в скобках представляет собой удлинение первой проволоки $\Delta l_1$. Следовательно:

$\Delta l_2 = \frac{1}{2} \Delta l_1$

Удлинение второй проволоки будет в 2 раза меньше удлинения первой. Увеличение длины в 2 раза приводит к увеличению удлинения в 2 раза, а увеличение диаметра в 2 раза (и площади в 4 раза) приводит к уменьшению удлинения в 4 раза. Итоговый эффект: удлинение изменяется в $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ раза, то есть уменьшается вдвое.

Ответ: Удлинение уменьшится в 2 раза.