Номер 4, страница 267, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Найдите максимальную высоту здания из кирпича, если предел прочности кирпича на сжатие $1.5 \cdot 10^7 \, \text{Па}$, плотность кирпича $1.8 \cdot 10^3 \, \text{кг/м}^3$, а необходимый запас прочности равен 6.

(Ответ: 250 м)

Дано:

Предел прочности кирпича на сжатие, $\sigma_{пред} = 1.5 \cdot 10^7 \text{ Па}$

Плотность кирпича, $\rho = 1.8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

Коэффициент запаса прочности, $k = 6$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Максимальную высоту здания $h_{max}$

Решение:

Давление $\text{P}$, которое создает кирпичная стена на свое основание, можно рассчитать по формуле гидростатического давления. Это давление является механическим напряжением $\sigma$ в нижних слоях кладки.

$P = \sigma = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность кирпича, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, $\text{h}$ — высота стены.

Для обеспечения безопасности конструкции максимальное напряжение в ней не должно превышать допустимое напряжение $\sigma_{доп}$. Допустимое напряжение рассчитывается путем деления предела прочности материала $\sigma_{пред}$ на коэффициент запаса прочности $\text{k}$.

$\sigma_{доп} = \frac{\sigma_{пред}}{k}$

Максимальная высота здания $h_{max}$ достигается тогда, когда напряжение в основании становится равным допустимому напряжению.

$\rho \cdot g \cdot h_{max} = \sigma_{доп} = \frac{\sigma_{пред}}{k}$

Из этого уравнения выразим искомую максимальную высоту $h_{max}$:

$h_{max} = \frac{\sigma_{пред}}{k \cdot \rho \cdot g}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу.

$h_{max} = \frac{1.5 \cdot 10^7 \text{ Па}}{6 \cdot 1.8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}$

$h_{max} = \frac{1.5 \cdot 10^7}{10.8 \cdot 10^3 \cdot 9.8} = \frac{1.5 \cdot 10^4}{105.84} \approx 141.7 \text{ м}$

При расчете с использованием $g = 10 \text{ м/с}^2$ результат будет несколько иным:

$h_{max} = \frac{1.5 \cdot 10^7 \text{ Па}}{6 \cdot 1.8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{1.5 \cdot 10^7}{10.8 \cdot 10^4} \approx 138.9 \text{ м}$

Примечание: Ответ, приведенный в скобках в условии (250 м), не совпадает с результатом, полученным на основе данных задачи. Указанный ответ мог бы получиться при других исходных данных. Например, если бы предел прочности кирпича был $\sigma_{пред} = 2.7 \cdot 10^7 \text{ Па}$ (при $g = 10 \text{ м/с}^2$):

$h_{max} = \frac{2.7 \cdot 10^7 \text{ Па}}{6 \cdot 1.8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = 250 \text{ м}$

При строгом решении с данными из условия задачи, правильный ответ отличается от предложенного в условии.

Ответ: Максимальная высота здания, рассчитанная по данным задачи, составляет приблизительно $141.7 \text{ м}$.