Номер 10, страница 11, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*10. Две частицы, имеющие массу $\text{m}$ и заряд $\text{q}$, находятся в вершинах равностороннего треугольника, составленного из легких нитей длиной $\text{l}$ (рис. 50.2). Систему поднимают вертикально вверх с ускорением $\vec{a}$, равным по модулю $\text{g}$. Определите натяжение нити, соединяющей частицы.

(Ответ: $\left( \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 l^2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}mg \right)$)

Рис. 50.2

Дано:

Масса каждой частицы: $\text{m}$

Заряд каждой частицы: $\text{q}$

Длина нитей: $\text{l}$

Ускорение системы: $a = g$, направлено вертикально вверх

Найти:

Натяжение нити, соединяющей частицы: $\text{T}$

Решение:

Рассмотрим одну из частиц, например, правую. На нее действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения горизонтальной нити $\vec{T}$, направленная влево.

3. Сила натяжения боковой нити $\vec{T}_s$, направленная вдоль нити вверх и влево.

4. Сила кулоновского отталкивания $\vec{F}_e$ от другой частицы, направленная горизонтально вправо.

Поскольку вся система движется с ускорением $\vec{a}$, направленным вертикально вверх, то и рассматриваемая частица движется с таким же ускорением. Запишем второй закон Ньютона для этой частицы в векторной форме:

$\vec{F}_g + \vec{T} + \vec{T}_s + \vec{F}_e = m\vec{a}$

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо. Спроецируем уравнение на эти оси. Так как треугольник из нитей равносторонний, угол между боковой нитью и горизонталью равен $60^\circ$.

Проекция на ось OX:

$F_e - T - T_s \cos(60^\circ) = ma_x$

Поскольку движение происходит только по вертикали, горизонтальная составляющая ускорения $a_x = 0$.

$F_e - T - T_s \cos(60^\circ) = 0$ (1)

Проекция на ось OY:

$T_s \sin(60^\circ) - F_g = ma_y$

По условию, $F_g = mg$ и $a_y = a = g$.

$T_s \sin(60^\circ) - mg = mg$

$T_s \sin(60^\circ) = 2mg$ (2)

Из уравнения (2) выразим силу натяжения боковой нити $T_s$. Учитывая, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$T_s \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2mg \implies T_s = \frac{4mg}{\sqrt{3}}$

Теперь из уравнения (1) выразим искомую силу натяжения $\text{T}$. Учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$T = F_e - T_s \cos(60^\circ) = F_e - T_s \cdot \frac{1}{2}$

Подставим найденное значение $T_s$:

$T = F_e - \frac{1}{2} \cdot \frac{4mg}{\sqrt{3}} = F_e - \frac{2mg}{\sqrt{3}}$

Сила кулоновского отталкивания $F_e$ определяется по закону Кулона. Расстояние между зарядами равно длине нити $\text{l}$.

$F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l^2}$

Подставим выражение для $F_e$ в формулу для $\text{T}$:

$T = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} - \frac{2mg}{\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе второго слагаемого:

$\frac{2mg}{\sqrt{3}} = \frac{2mg \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}mg$

Окончательное выражение для силы натяжения нити:

$T = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}mg$

Ответ: $T = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}mg$.