Номер 9, страница 11, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

9. Имеются три одинаковых заряда по $3 \cdot 10^{-8}$ Кл, каждый из которых расположен в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд необходимо поместить в центр этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?

(Ответ: $1,73 \cdot 10^{-8}$ Кл)

Дано:

$q_1 = q_2 = q_3 = q = 3 \cdot 10^{-8}$ Кл

Найти:

$\text{Q}$ — заряд, помещаемый в центр треугольника.

Решение:

Для того чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю. В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть равновесие одного из зарядов, расположенных в вершине равностороннего треугольника, например, заряда $q_1$.

На заряд $q_1$ действуют три силы: сила отталкивания $\vec{F}_{21}$ со стороны заряда $q_2$, сила отталкивания $\vec{F}_{31}$ со стороны заряда $q_3$ и сила $\vec{F}_{Q1}$ со стороны центрального заряда $\text{Q}$. Условие равновесия для заряда $q_1$ записывается в виде векторного уравнения:

$\vec{F}_{21} + \vec{F}_{31} + \vec{F}_{Q1} = 0$

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $\text{a}$. Модули сил $\vec{F}_{21}$ и $\vec{F}_{31}$ одинаковы и по закону Кулона равны:

$F_{21} = F_{31} = F = k \frac{q^2}{a^2}$

где $\text{k}$ — электрическая постоянная. Угол между векторами этих сил составляет $60^\circ$. Результирующая этих двух сил $\vec{F}_R = \vec{F}_{21} + \vec{F}_{31}$ направлена по биссектрисе угла, то есть вдоль линии, соединяющей вершину $q_1$ и центр треугольника, в сторону от центра. Её модуль можно найти по правилу параллелограмма:

$F_R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F \cdot F \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3F^2} = F\sqrt{3}$

Таким образом,

$F_R = k \frac{q^2\sqrt{3}}{a^2}$

Чтобы заряд $q_1$ находился в равновесии, сила $\vec{F}_{Q1}$ со стороны центрального заряда $\text{Q}$ должна уравновешивать силу $\vec{F}_R$. Это значит, что $\vec{F}_{Q1} = -\vec{F}_R$. Следовательно, сила $\vec{F}_{Q1}$ должна быть равна по модулю $F_R$ и направлена в противоположную сторону, то есть к центру треугольника. Так как заряд $q_1$ положительный, то для создания силы притяжения к центру заряд $\text{Q}$ должен быть отрицательным.

Расстояние $\text{r}$ от центра равностороннего треугольника до его вершины составляет $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Модуль силы $\vec{F}_{Q1}$ равен:

$F_{Q1} = k\frac{|Q|q}{r^2} = k\frac{|Q|q}{(a/\sqrt{3})^2} = 3k\frac{|Q|q}{a^2}$

Приравняем модули сил $F_R$ и $F_{Q1}$:

$k \frac{q^2\sqrt{3}}{a^2} = 3k\frac{|Q|q}{a^2}$

Сократив общие множители, получим:

$q\sqrt{3} = 3|Q|$

Отсюда выражаем модуль заряда $\text{Q}$:

$|Q| = \frac{q\sqrt{3}}{3} = \frac{q}{\sqrt{3}}$

Подставим числовое значение заряда $\text{q}$:

$|Q| = \frac{3 \cdot 10^{-8}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \cdot 10^{-8} \approx 1,732 \cdot 10^{-8}$ Кл

Так как заряд $\text{Q}$ должен быть отрицательным, его значение равно $Q \approx -1,73 \cdot 10^{-8}$ Кл. При этом центральный заряд $\text{Q}$ также будет находиться в равновесии, так как три силы, действующие на него со стороны зарядов в вершинах, равны по модулю и направлены под углами $120^\circ$ друг к другу, их векторная сумма равна нулю.

Ответ: В центр треугольника необходимо поместить отрицательный заряд $Q = -\frac{q}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \cdot 10^{-8}$ Кл $\approx -1,73 \cdot 10^{-8}$ Кл.