Номер 3, страница 10, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*3. Два заряженных шарика с равными радиусами и массами, подвешенные на нитях одинаковой длины, опускают в жидкий диэлектрик. Угол расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике оказался одним и тем же. Плотность материала шариков равна 1,2 г/см³, а плотность диэлектрика 0,8 г/см³. Определите проницаемость диэлектрика.

(Ответ: 3)

Дано:

Плотность материала шариков $\rho_ш = 1,2 \text{ г/см}^3$

Плотность диэлектрика $\rho_д = 0,8 \text{ г/см}^3$

Угол расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике одинаков, что означает, что угол $\alpha$ отклонения каждой нити от вертикали в обоих случаях один и тот же.

Перевод в систему СИ:

$\rho_ш = 1,2 \frac{г}{см^3} = 1,2 \cdot \frac{10^{-3} кг}{(10^{-2} м)^3} = 1,2 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3} = 1200 \frac{кг}{м^3}$

$\rho_д = 0,8 \frac{г}{см^3} = 0,8 \cdot \frac{10^{-3} кг}{(10^{-2} м)^3} = 0,8 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3} = 800 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

$\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость жидкости.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков в состоянии равновесия. Пусть $\alpha$ - угол отклонения нити от вертикали.

1.Шарик в воздухе.

На шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $T_1$, направленная вдоль нити, и сила кулоновского отталкивания $F_{К1}$, направленная горизонтально. Условие равновесия шарика в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Горизонтальная ось: $T_1 \sin\alpha = F_{К1}$

Вертикальная ось: $T_1 \cos\alpha = mg$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\frac{T_1 \sin\alpha}{T_1 \cos\alpha} = \frac{F_{К1}}{mg} \implies \tan\alpha = \frac{F_{К1}}{mg}$ (1)

Силу кулоновского отталкивания в воздухе (диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon_{возд} \approx 1$) можно записать как $F_{К1} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$, где $\text{q}$ - заряд шарика, а $\text{r}$ - расстояние между шариками.

2.Шарик в жидком диэлектрике.

На шарик действуют четыре силы: сила тяжести $F_g = mg$, сила натяжения нити $T_2$, сила кулоновского отталкивания в диэлектрике $F_{К2}$ и выталкивающая сила Архимеда $F_А$, направленная вертикально вверх. Условие равновесия шарика:

Горизонтальная ось: $T_2 \sin\alpha = F_{К2}$

Вертикальная ось: $T_2 \cos\alpha + F_A = mg \implies T_2 \cos\alpha = mg - F_A$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\frac{T_2 \sin\alpha}{T_2 \cos\alpha} = \frac{F_{К2}}{mg - F_A} \implies \tan\alpha = \frac{F_{К2}}{mg - F_A}$ (2)

Сила кулоновского отталкивания в диэлектрике с проницаемостью $\epsilon$ уменьшается в $\epsilon$ раз по сравнению с вакуумом (воздухом): $F_{К2} = \frac{F_{К1}}{\epsilon}$.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_A = \rho_д V g$, где $\text{V}$ - объем шарика.

Масса шарика связана с его плотностью и объемом: $m = \rho_ш V$.

3.Нахождение диэлектрической проницаемости.

Поскольку угол $\alpha$ в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять выражения для $\tan\alpha$ из уравнений (1) и (2):

$\frac{F_{К1}}{mg} = \frac{F_{К2}}{mg - F_A}$

Подставим $F_{К2} = \frac{F_{К1}}{\epsilon}$:

$\frac{F_{К1}}{mg} = \frac{F_{К1}/\epsilon}{mg - F_A}$

Сократим на $F_{К1}$ (так как $F_{К1} \neq 0$):

$\frac{1}{mg} = \frac{1}{\epsilon(mg - F_A)}$

Отсюда выразим $\epsilon$:

$\epsilon(mg - F_A) = mg \implies \epsilon = \frac{mg}{mg - F_A}$

Теперь подставим выражения для массы $m = \rho_ш V$ и силы Архимеда $F_A = \rho_д V g$:

$\epsilon = \frac{\rho_ш V g}{\rho_ш V g - \rho_д V g}$

Сократим общий множитель $Vg$ в числителе и знаменателе:

$\epsilon = \frac{\rho_ш}{\rho_ш - \rho_д}$

Подставим числовые значения плотностей. Можно использовать значения в г/см³, так как единицы измерения сократятся.

$\epsilon = \frac{1,2}{1,2 - 0,8} = \frac{1,2}{0,4} = 3$

Ответ: 3.