Номер 1, страница 10, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

1. Заряженные шарики, общий заряд которых равен 2 нКл, находятсяв 3 м друг от друга в воздухе и взаимодействуют с силой 1Н. Как распределен заряд между шариками?

(Ответ: 1,865 нКл и 0,135 нКл)

1. Дано:

Общий заряд: $Q_{общ} = 2 \text{ нКл}$

Расстояние: $r = 3 \text{ м}$

Сила взаимодействия: $F = 1 \text{ Н}$

Шарики находятся в воздухе, поэтому диэлектрическая проницаемость среды $\epsilon \approx 1$.

Электрическая постоянная: $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:

$Q_{общ} = 2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Заряды шариков $q_1$ и $q_2$.

Решение:

Обозначим заряды шариков как $q_1$ и $q_2$. Согласно условию, их сумма равна:

$q_1 + q_2 = Q_{общ} = 2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Поскольку суммарный заряд положителен ($Q_{общ} > 0$), для существования вещественных решений для зарядов $q_1$ и $q_2$ их произведение $q_1 q_2$ должно быть положительным, что соответствует силе отталкивания. Таким образом, оба заряда имеют одинаковый знак (в данном случае, положительный), и знак модуля можно опустить.

$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

Выразим произведение зарядов $q_1 q_2$ из закона Кулона и подставим числовые значения из условия:

$q_1 q_2 = \frac{F r^2}{k} = \frac{1 \text{ Н} \cdot (3 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} = \frac{9}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл}^2 = 10^{-9} \text{ Кл}^2$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} q_1 + q_2 = 2 \cdot 10^{-9} \\ q_1 q_2 = 10^{-9} \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $q_1$ и $q_2$ являются корнями квадратного уравнения $q^2 - (q_1+q_2)q + q_1q_2 = 0$. Подставим в него известные нам сумму и произведение зарядов:

$q^2 - (2 \cdot 10^{-9})q + 10^{-9} = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения, чтобы определить, есть ли у него действительные корни:

$D = b^2 - 4ac = (-2 \cdot 10^{-9})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10^{-9} = 4 \cdot 10^{-18} - 4 \cdot 10^{-9}$

Поскольку $4 \cdot 10^{-9}$ значительно больше, чем $4 \cdot 10^{-18}$, дискриминант $D < 0$. Отрицательный дискриминант означает, что у квадратного уравнения нет действительных корней. Следовательно, задача с приведенными в условии данными не имеет физического решения.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Сила в 1 Н является неправдоподобно большой для зарядов порядка нанокулон на расстоянии в 3 метра. Ответ, приведенный в скобках (1,865 нКл и 0,135 нКл), позволяет предположить, какой должна была быть сила.

Давайте решим задачу, предположив, что сила была такой, чтобы получить ответ, близкий к указанному. Например, если предположить, что сила была $F = 0.25 \text{ нН} = 0.25 \cdot 10^{-9} \text{ Н}$, то произведение зарядов будет:

$q_1 q_2 = \frac{0.25 \cdot 10^{-9} \text{ Н} \cdot (3 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} = \frac{2.25 \cdot 10^{-9}}{9 \cdot 10^9} = 0.25 \cdot 10^{-18} \text{ Кл}^2$

Тогда квадратное уравнение примет вид:

$q^2 - (2 \cdot 10^{-9})q + 0.25 \cdot 10^{-18} = 0$

Его дискриминант:

$D = (-2 \cdot 10^{-9})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (0.25 \cdot 10^{-18}) = 4 \cdot 10^{-18} - 1 \cdot 10^{-18} = 3 \cdot 10^{-18}$

Корни уравнения (заряды $q_1$ и $q_2$):

$q = \frac{-(-2 \cdot 10^{-9}) \pm \sqrt{3 \cdot 10^{-18}}}{2} = \frac{2 \cdot 10^{-9} \pm \sqrt{3} \cdot 10^{-9}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2} \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Используя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, находим значения зарядов:

$q_1 = \frac{2 + 1.732}{2} \cdot 10^{-9} \approx 1.866 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 1.866 \text{ нКл}$

$q_2 = \frac{2 - 1.732}{2} \cdot 10^{-9} \approx 0.134 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 0.134 \text{ нКл}$

Эти значения почти совпадают с ответом, приведенным в условии, что подтверждает гипотезу об опечатке в значении силы.

Ответ: заряды шариков равны 1,865 нКл и 0,135 нКл.