Номер 2, страница 10, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Два одинаковых металлических шарика зарядили так, что заряд одного из них в $n = 5$ раз больше другого. Шарики привели в соприкосновение и раздвинули на расстояние, большее в 1,34 раза. Во сколько раз изменится модуль силы их взаимодействия, если заряды:

а) одноименные;

б) разноименные?

(Ответ: а) не изменится; б) уменьшится в 2,25 раза)

Дано:

$|q_2| = n \cdot |q_1|$, где $n=5$

$r_2 = k \cdot r_1$, где $k \approx 1,34$

Найти:

Во сколько раз изменится модуль силы взаимодействия $\frac{F_1}{F_2}$ или $\frac{F_2}{F_1}$

Решение:

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов определяется законом Кулона:

$F = k_{e} \frac{|q_a q_b|}{r^2}$

где $k_{e}$ - электростатическая постоянная, $q_a$ и $q_b$ - величины зарядов, $\text{r}$ - расстояние между ними.

Пусть начальные заряды шариков $q_1$ и $q_2$, а расстояние между ними $r_1$. Начальная сила взаимодействия:

$F_1 = k_{e} \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}$

После соприкосновения двух одинаковых металлических шариков их суммарный заряд $Q = q_1 + q_2$ распределяется между ними поровну. Новый заряд каждого шарика становится:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

Шарики раздвигают на новое расстояние $r_2$. Конечная сила взаимодействия:

$F_2 = k_{e} \frac{|q' \cdot q'|}{r_2^2} = k_{e} \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r_2^2}$

Рассмотрим два случая.

а) заряды одноименные

Пусть $q_1 = q$, тогда $q_2 = 5q$. Начальная сила:

$F_1 = k_{e} \frac{|q \cdot 5q|}{r_1^2} = \frac{5 k_{e} q^2}{r_1^2}$

После соприкосновения суммарный заряд $Q = q + 5q = 6q$.

Новый заряд каждого шарика: $q' = \frac{6q}{2} = 3q$.

Конечная сила на расстоянии $r_2$:

$F_2 = k_{e} \frac{|3q \cdot 3q|}{r_2^2} = \frac{9 k_{e} q^2}{r_2^2}$

Для того чтобы сила не изменилась ($F_1 = F_2$), должно выполняться условие:

$\frac{5 k_{e} q^2}{r_1^2} = \frac{9 k_{e} q^2}{r_2^2}$

$5r_2^2 = 9r_1^2$

$r_2 = \sqrt{\frac{9}{5}} r_1 \approx 1,3416 r_1$

Значение $1,34$ в условии задачи является округленным значением коэффициента $\sqrt{9/5}$, при котором сила взаимодействия не изменяется. Следовательно, можно сделать вывод, что сила не изменилась.

Ответ: модуль силы взаимодействия не изменится.

б) заряды разноименные

Пусть $q_1 = q$, тогда $q_2 = -5q$. Начальная сила:

$F_1 = k_{e} \frac{|q \cdot (-5q)|}{r_1^2} = \frac{5 k_{e} q^2}{r_1^2}$

После соприкосновения суммарный заряд $Q = q + (-5q) = -4q$.

Новый заряд каждого шарика: $q' = \frac{-4q}{2} = -2q$.

Конечная сила на расстоянии $r_2$. Используем точное соотношение из пункта а), что $r_2^2 = \frac{9}{5}r_1^2$:

$F_2 = k_{e} \frac{|(-2q) \cdot (-2q)|}{r_2^2} = \frac{4 k_{e} q^2}{r_2^2} = \frac{4 k_{e} q^2}{(\frac{9}{5} r_1^2)} = \frac{20}{9} \frac{k_{e} q^2}{r_1^2}$

Найдем, во сколько раз изменилась сила, т.е. найдем отношение $\frac{F_1}{F_2}$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{5 k_{e} q^2}{r_1^2}}{\frac{20}{9} \frac{k_{e} q^2}{r_1^2}} = 5 \cdot \frac{9}{20} = \frac{45}{20} = \frac{9}{4} = 2,25$

Так как отношение $\frac{F_1}{F_2} = 2,25 > 1$, то сила уменьшилась в 2,25 раза.

Ответ: модуль силы взаимодействия уменьшится в 2,25 раза.