Творите, страница 20, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Творите

Придумайте задачу на суперпозицию (наложение) электрических полей.

Задача: Два точечных заряда, $q_1 = +2$ нКл и $q_2 = -2$ нКл, расположены в вакууме в вершинах A и B равностороннего треугольника ABC со стороной $a = 10$ см. Определите вектор напряженности электрического поля, создаваемого этими зарядами, в третьей вершине треугольника C.

Дано:

$q_1 = +2$ нКл

$q_2 = -2$ нКл

$a = 10$ см

треугольник ABC - равносторонний

Перевод в систему СИ:

$q_1 = 2 \cdot 10^{-9}$ Кл

$q_2 = -2 \cdot 10^{-9}$ Кл

$a = 0.1$ м

Найти:

$\vec{E_C}$

Решение:

Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего электрического поля в точке C равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности: $\vec{E_C} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Здесь $\vec{E_1}$ — напряженность поля, создаваемого зарядом $q_1$, а $\vec{E_2}$ — напряженность поля, создаваемого зарядом $q_2$.

Модуль напряженности поля точечного заряда находится по формуле: $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² — коэффициент пропорциональности (постоянная Кулона), $|q|$ — модуль заряда, $\text{r}$ — расстояние от заряда до точки, в которой определяется напряженность.

Расстояния от зарядов $q_1$ (в точке А) и $q_2$ (в точке В) до точки C равны стороне треугольника $\text{a}$: $r_1 = r_2 = a$. Поскольку модули зарядов равны ($|q_1| = |q_2|$), то и модули напряженностей полей, создаваемых ими в точке C, будут равны: $E_1 = k \frac{|q_1|}{a^2}$

$E_2 = k \frac{|q_2|}{a^2}$

Следовательно, $E_1 = E_2 = E$.

Вычислим это значение: $E = (9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}) \cdot \frac{2 \cdot 10^{-9} Кл}{(0.1 м)^2} = \frac{18}{0.01} \frac{Н}{Кл} = 1800$ Н/Кл.

Теперь определим направление векторов. Вектор $\vec{E_1}$ направлен от положительного заряда $q_1$ вдоль прямой AC. Вектор $\vec{E_2}$ направлен к отрицательному заряду $q_2$ вдоль прямой CB.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, угол между сторонами AC и BC равен $\angle ACB = 60^\circ$. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ будет равен $120^\circ$. Это можно увидеть, если совместить начала векторов в точке C: вектор $\vec{E_1}$ направлен вдоль линии AC (отталкиваясь от А), а вектор $\vec{E_2}$ направлен вдоль линии CB (притягиваясь к B). Угол между этими направлениями составляет $120^\circ$.

Модуль результирующего вектора $\vec{E_C}$ найдем по теореме косинусов для векторного сложения: $E_C = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos \alpha}$

Так как $E_1 = E_2 = E$, а $\cos 120^\circ = -0.5$: $E_C = \sqrt{E^2 + E^2 + 2 E \cdot E \cdot \cos 120^\circ} = \sqrt{2E^2 + 2E^2(-0.5)} = \sqrt{2E^2 - E^2} = \sqrt{E^2} = E$.

Таким образом, модуль результирующей напряженности равен модулю напряженности поля от одного заряда: $E_C = E = 1800$ Н/Кл.

Направление вектора $\vec{E_C}$ можно найти, воспользовавшись правилом параллелограмма. Так как модули векторов $E_1$ и $E_2$ равны, то параллелограмм является ромбом, и его диагональ (вектор $\vec{E_C}$) делит угол $\alpha$ пополам. Следовательно, вектор $\vec{E_C}$ образует с каждым из векторов $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ угол $60^\circ$. Геометрически это означает, что вектор $\vec{E_C}$ направлен параллельно стороне AB треугольника в направлении от A к B.

Ответ: Напряженность электрического поля в точке C по модулю равна $1800$ Н/Кл и направлена параллельно стороне AB от точки А к точке B.