Номер 9, страница 20, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

9. На окружности радиусом 10 см на одинаковом расстоянии друг от друга расположены три точечных заряда $q_1 = q_2 = 10^8 \text{ Кл}$ и $q_3 = -10^{-8} \text{ Кл}$. Определите напряженность поля в центре окружности.

(Ответ: $1.8 \cdot 10^4 \text{ В/м}$)

Дано:

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$q_1 = 10^{-8} \text{ Кл}$

$q_2 = 10^{-8} \text{ Кл}$

$q_3 = -10^{-8} \text{ Кл}$

Найти:

$\text{E}$

Решение:

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность электрического поля в центре окружности равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из трех зарядов:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$

где $\vec{E}_1$, $\vec{E}_2$ и $\vec{E}_3$ — векторы напряженности полей от зарядов $q_1$, $q_2$ и $q_3$ соответственно.

Модуль напряженности поля точечного заряда определяется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{R^2}$

Поскольку модули всех трех зарядов одинаковы ($|q_1| = |q_2| = |q_3| = 10^{-8} \text{ Кл}$) и расстояние от каждого заряда до центра окружности также одинаково и равно радиусу $\text{R}$, то модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в центре, равны между собой:

$E_1 = E_2 = E_3 = E_0$

Рассчитаем значение этого модуля, приняв коэффициент пропорциональности $k \approx 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$:

$E_0 = k \frac{|q|}{R^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-8}}{(0.1)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-8}}{0.01} = 9 \cdot 10^3 \text{ В/м}$

Теперь необходимо выполнить векторное сложение. Так как заряды расположены на одинаковом расстоянии друг от друга по окружности, они образуют вершины равностороннего треугольника. Угол между радиус-векторами, проведенными из центра к любым двум соседним зарядам, составляет $360^\circ / 3 = 120^\circ$.

Векторы напряженности $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ (от положительных зарядов $q_1$ и $q_2$) направлены от зарядов, то есть от окружности к центру. Вектор $\vec{E}_3$ (от отрицательного заряда $q_3$) направлен к заряду, то есть также от центра к окружности. Угол между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ равен $120^\circ$.

Найдем сумму векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. Модуль их суммы $\vec{E}_{12}$ можно найти по теореме косинусов:

$E_{12} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2\cos(120^\circ)} = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{2E_0^2 - E_0^2} = E_0$

Вектор $\vec{E}_{12}$ направлен по биссектрисе угла между $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. По симметрии, этот вектор направлен в ту же сторону, что и вектор $\vec{E}_3$. Таким образом, результирующий вектор $\vec{E}$ является суммой двух сонаправленных векторов $\vec{E}_{12}$ и $\vec{E}_3$.

Модуль результирующей напряженности равен сумме их модулей:

$E = E_{12} + E_3 = E_0 + E_0 = 2E_0$

Подставим найденное значение $E_0$:

$E = 2 \cdot (9 \cdot 10^3 \text{ В/м}) = 18 \cdot 10^3 \text{ В/м} = 1.8 \cdot 10^4 \text{ В/м}$

Ответ: $1.8 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.