Номер 6, страница 19, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Атом водорода состоит из положительного ядра, вокруг которого вращается единственный электрон. С какой частотой должен обращаться электрон вокруг ядра, чтобы не упасть на ядро, если его орбита — окружность с радиусом $3 \cdot 10^8$ см? Масса электрона равна $9 \cdot 10^{-28}$ г.

(Ответ: $5 \cdot 10^{17}$ Гц)

Дано:

Радиус орбиты электрона, $r = 3 \cdot 10^{-8} \text{ см}$

Масса электрона, $m_e = 9 \cdot 10^{-28} \text{ г}$

Заряд электрона, $q_e = -e = -1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Заряд ядра водорода (протона), $q_я = +e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Электрическая постоянная (константа Кулона), $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:

$r = 3 \cdot 10^{-8} \text{ см} = 3 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{-2} \text{ м} = 3 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

$m_e = 9 \cdot 10^{-28} \text{ г} = 9 \cdot 10^{-28} \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 9 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Найти:

Частоту обращения электрона, $f - ?$

Решение:

Электрон вращается по круговой орбите вокруг ядра. Чтобы электрон не упал на ядро, сила кулоновского притяжения между электроном и ядром должна быть равна центростремительной силе, удерживающей электрон на орбите. Это является условием стабильности орбиты в классической модели.

Запишем равенство сил:

$F_{ц} = F_{Кл}$

Центростремительная сила $F_{ц}$ выражается через массу $m_e$, радиус орбиты $\text{r}$ и угловую скорость $\omega$ как $F_{ц} = m_e \omega^2 r$. Угловая скорость связана с частотой обращения $\text{f}$ формулой $\omega = 2\pi f$.

Подставим выражение для $\omega$ в формулу для центростремительной силы:

$F_{ц} = m_e (2\pi f)^2 r = 4\pi^2 f^2 m_e r$

Сила Кулона $F_{Кл}$ между ядром (заряд $+e$) и электроном (заряд $-e$) на расстоянии $\text{r}$ определяется законом Кулона:

$F_{Кл} = k \frac{|q_я \cdot q_e|}{r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$

Приравняем выражения для сил:

$4\pi^2 f^2 m_e r = k \frac{e^2}{r^2}$

Выразим из этого уравнения квадрат частоты $f^2$:

$f^2 = \frac{k e^2}{4\pi^2 m_e r^3}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти частоту $\text{f}$:

$f = \sqrt{\frac{k e^2}{4\pi^2 m_e r^3}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$f = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{4 \cdot (3.1416)^2 \cdot 9 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^{-10} \text{ м})^3}}$

$f = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2.56 \cdot 10^{-38}}{4 \cdot 9.87 \cdot 9 \cdot 10^{-31} \cdot 27 \cdot 10^{-30}}}$

$f = \sqrt{\frac{23.04 \cdot 10^{-29}}{9593.6 \cdot 10^{-61}}} \approx \sqrt{0.0024 \cdot 10^{32}} = \sqrt{24 \cdot 10^{28}} \approx 4.9 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

Полученный результат ($4.9 \cdot 10^{14}$ Гц) не совпадает с ответом, приведенным в условии задачи ($5 \cdot 10^{17}$ Гц). Расхождение составляет три порядка ($10^3$). Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка в радиусе орбиты. Если предположить, что радиус должен быть $r = 3 \cdot 10^{-10}$ см $= 3 \cdot 10^{-12}$ м, то расчет дал бы следующий результат:

$f_{предполагаемое} = \sqrt{\frac{k e^2}{4\pi^2 m_e (r_{новое})^3}} = \sqrt{\frac{23.04 \cdot 10^{-29}}{4 \pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{-31} \cdot (3 \cdot 10^{-12})^3}} = \sqrt{\frac{23.04 \cdot 10^{-29}}{9593.6 \cdot 10^{-67}}} \approx \sqrt{24 \cdot 10^{34}} \approx 4.9 \cdot 10^{17} \text{ Гц}$

Этот результат практически совпадает с ответом из условия. Таким образом, решение приводится для данных, указанных в задаче.

Ответ: $f \approx 4.9 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$.