Номер 7, страница 20, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

7. На двух одинаковых капельках воды находится по одному лишнему электрону, причем сила электрического отталкивания капелек уравновешивает силу их взаимного тяготения. Каковы радиусы капелек?

(Ответ: 76 мкм)

7. Дано:

Заряд каждой капельки: $q = e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Условие равновесия: $F_э = F_г$

Плотность воды: $\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$

Электрическая постоянная: $k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$

Найти:

Радиус капелек $\text{R}$.

Решение:

Согласно условию задачи, сила электрического отталкивания $F_э$ между двумя одинаковыми капельками воды уравновешивает силу их взаимного гравитационного притяжения $F_г$.

Сила электрического отталкивания, согласно закону Кулона, определяется формулой:

$F_э = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Так как капельки одинаковы и несут по одному лишнему электрону, их заряды равны $q_1 = q_2 = e$. Тогда:

$F_э = k \frac{e^2}{r^2}$

где $\text{r}$ – расстояние между центрами капелек.

Сила гравитационного притяжения, согласно закону всемирного тяготения, равна:

$F_г = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Поскольку капельки одинаковые, их массы равны $m_1 = m_2 = m$.

$F_г = G \frac{m^2}{r^2}$

Из условия равновесия $F_э = F_г$ следует:

$k \frac{e^2}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2}$

Сократив $r^2$ в обеих частях уравнения, получаем, что равновесие не зависит от расстояния между капельками:

$k e^2 = G m^2$

Массу капельки воды можно выразить через ее радиус $\text{R}$ и плотность воды $\rho$. Предполагая, что капелька имеет сферическую форму, ее объем $\text{V}$ равен:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Тогда масса капельки $\text{m}$ равна:

$m = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим это выражение для массы в уравнение равновесия сил:

$k e^2 = G \left( \rho \frac{4}{3}\pi R^3 \right)^2 = G \rho^2 \frac{16}{9}\pi^2 R^6$

Выразим из этого уравнения $R^6$:

$R^6 = \frac{9 k e^2}{16 G \rho^2 \pi^2}$

Чтобы найти радиус $\text{R}$, извлечем корень шестой степени:

$R = \sqrt[6]{\frac{9 k e^2}{16 G \rho^2 \pi^2}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$R = \sqrt[6]{\frac{9 \cdot (9 \cdot 10^9) \cdot (1.6 \cdot 10^{-19})^2}{16 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot (1000)^2 \cdot (3.14)^2}}$

$R = \sqrt[6]{\frac{81 \cdot 10^9 \cdot 2.56 \cdot 10^{-38}}{16 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 10^6 \cdot 9.86}}$

$R = \sqrt[6]{\frac{207.36 \cdot 10^{-29}}{1054.4 \cdot 10^{-5}}} = \sqrt[6]{\frac{2.0736 \cdot 10^{-27}}{1.0544 \cdot 10^{-2}}}$

$R = \sqrt[6]{1.966 \cdot 10^{-25}} = \sqrt[6]{0.1966 \cdot 10^{-24}} \text{ м}$

$R \approx 0.758 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Переведем метры в микрометры (1 м = $10^6$ мкм):

$R \approx 0.758 \cdot 10^{-4} \cdot 10^6 \text{ мкм} = 75.8 \text{ мкм}$

Округляя, получаем результат, указанный в условии.

Ответ: радиусы капелек равны примерно 76 мкм.