Номер 8, страница 20, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

8. Расстояниемежду точечными зарядами $9 \cdot 10^{-6}$ и $10^{-6}$ Кл равно 8 см. На каком расстоянии от первого заряда напряженность поля равна нулю?

(Ответ: 6 см)

Дано:

Величина первого заряда: $q_1 = 9 \cdot 10^{-6}$ Кл

Величина второго заряда: $q_2 = 10^{-6}$ Кл (что означает $1 \cdot 10^{-6}$ Кл)

Расстояние между зарядами: $R = 8$ см

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $\text{x}$ от первого заряда ($q_1$) до точки, где напряженность результирующего электрического поля равна нулю.

Решение:

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле: $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $\text{k}$ – коэффициент пропорциональности (постоянная Кулона), $\text{q}$ – величина заряда, а $\text{r}$ – расстояние до точки, в которой измеряется поле. Напряженность – это векторная величина.

В данной задаче оба заряда, $q_1$ и $q_2$, являются положительными. Это означает, что векторы напряженности $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемые каждым зарядом, направлены *от* заряда. Чтобы результирующая напряженность $\vec{E}_{общ} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$ была равна нулю, векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Такое возможно только в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды.

Если точка находится левее заряда $q_1$ или правее заряда $q_2$, то оба вектора напряженности ($\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$) будут сонаправлены, и их сумма не сможет быть равной нулю. Следовательно, искомая точка может находиться только между зарядами. В области между зарядами вектор $\vec{E}_1$ направлен от $q_1$, а вектор $\vec{E}_2$ направлен от $q_2$, то есть они противоположно направлены.

Обозначим расстояние от заряда $q_1$ до искомой точки как $\text{x}$. Тогда расстояние от заряда $q_2$ до этой же точки будет равно $(R - x)$.

Условие равенства нулю результирующей напряженности поля (равенство модулей): $E_1 = E_2$.

Подставим в это равенство формулу для напряженности:

$k \frac{|q_1|}{x^2} = k \frac{|q_2|}{(R-x)^2}$

Сократим постоянную $\text{k}$ и, так как заряды положительны, уберем знаки модуля:

$\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(R-x)^2}$

Подставим значения зарядов:

$\frac{9 \cdot 10^{-6}}{x^2} = \frac{1 \cdot 10^{-6}}{(R-x)^2}$

Сократим общий множитель $10^{-6}$:

$\frac{9}{x^2} = \frac{1}{(R-x)^2}$

Перегруппируем уравнение, чтобы было удобнее извлечь корень:

$\frac{(R-x)^2}{x^2} = \frac{1}{9}$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Поскольку $\text{x}$ и $(R-x)$ являются расстояниями, они положительны, поэтому берем арифметический корень:

$\frac{R-x}{x} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $\text{x}$:

$3(R-x) = x$

$3R - 3x = x$

$3R = 4x$

$x = \frac{3}{4}R$

Подставим значение $R = 8$ см. Так как мы ищем отношение расстояний, можно проводить вычисления в сантиметрах, и ответ также будет в сантиметрах.

$x = \frac{3}{4} \cdot 8 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Таким образом, точка, в которой напряженность поля равна нулю, находится на расстоянии 6 см от первого заряда (и на расстоянии $8 - 6 = 2$ см от второго заряда).

Ответ: 6 см.