Номер 2, страница 20, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Как изменится сила взаимодействия двух одинаковых металлических шариков, если они вначале были заряжены одноименными зарядами различной величины, затем их привели в соприкосновение и раздвинули? Свои выводы подкрепите расчетами.

Дано:

Два одинаковых металлических шарика.

Начальные заряды шариков: $q_1$ и $q_2$.

Заряды одноименные, т.е. $q_1 \cdot q_2 > 0$.

Величины зарядов различны: $q_1 \neq q_2$.

Начальное и конечное расстояние между центрами шариков: $\text{r}$.

Найти:

Как изменится сила взаимодействия $\text{F}$?

Решение:

1. Сила взаимодействия до соприкосновения.

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия двух точечных зарядов (в данном случае шариков, находящихся на расстоянии, значительно превышающем их радиусы) определяется формулой:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Поскольку заряды одноименные ($q_1$ и $q_2$ имеют одинаковый знак), их произведение $q_1 q_2$ положительно. Следовательно, начальная сила $F_1$ (сила отталкивания) равна:

$F_1 = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

2. Перераспределение заряда при соприкосновении.

Так как шарики металлические и одинаковые, при их соприкосновении общий заряд $Q_{общ} = q_1 + q_2$ распределится между ними поровну. После соприкосновения и разъединения каждый шарик будет иметь заряд $q'$:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

3. Сила взаимодействия после соприкосновения.

После того как шарики раздвинули на прежнее расстояние $\text{r}$, сила взаимодействия между ними станет $F_2$ и будет равна:

$F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r^2} = k \frac{(q')^2}{r^2}$

Подставим выражение для $q'$ в эту формулу:

$F_2 = k \frac{\left(\frac{q_1 + q_2}{2}\right)^2}{r^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}$

4. Сравнение сил $F_1$ и $F_2$.

Для того чтобы определить, как изменилась сила, найдем отношение силы $F_2$ к силе $F_1$:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}}{k \frac{q_1 q_2}{r^2}} = \frac{(q_1 + q_2)^2}{4q_1 q_2}$

Теперь сравним это отношение с единицей. Для этого сравним числитель $(q_1 + q_2)^2$ и знаменатель $4q_1 q_2$. Рассмотрим их разность:

$(q_1 + q_2)^2 - 4q_1 q_2 = (q_1^2 + 2q_1q_2 + q_2^2) - 4q_1 q_2 = q_1^2 - 2q_1q_2 + q_2^2 = (q_1 - q_2)^2$

По условию задачи, величины зарядов различны, то есть $q_1 \neq q_2$. Следовательно, их разность $(q_1 - q_2)$ не равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда положителен:

$(q_1 - q_2)^2 > 0$

Это означает, что $(q_1 + q_2)^2 - 4q_1 q_2 > 0$, откуда следует, что:

$(q_1 + q_2)^2 > 4q_1 q_2$

Поскольку заряды одноименные, их произведение $q_1 q_2 > 0$. Значит, мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $4q_1 q_2$, не меняя знака неравенства:

$\frac{(q_1 + q_2)^2}{4q_1 q_2} > 1$

Таким образом, мы доказали, что отношение сил $\frac{F_2}{F_1} > 1$, что равносильно $F_2 > F_1$.

Следовательно, сила взаимодействия шариков увеличится. Это происходит потому, что среднее арифметическое двух различных положительных чисел всегда больше их среднего геометрического. В нашем случае это означает, что заряд после усреднения $(\frac{q_1+q_2}{2})$ при возведении в квадрат дает большее значение, чем произведение исходных зарядов $q_1 q_2$.

Ответ: Сила взаимодействия увеличится.