Номер 12, страница 20, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

12. На одинаковом расстоянии а друг от друга расположены три одинаковых равных зарядад. Какова напряженность поля в центре треугольника, образованного этими зарядами? Чему будетравна напряженность, еслиодин из зарядов будетиметь противоположный знак?

(Ответ: 0; ($\frac{3q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$))

Дано:

$q_1, q_2, q_3$ — три точечных заряда.

$\text{a}$ — расстояние между любыми двумя зарядами (сторона равностороннего треугольника).

Случай 1: $q_1 = q_2 = q_3 = q$ (три одинаковых равных заряда).

Случай 2: $q_1 = q_2 = q$, $q_3 = -q$ (один из зарядов имеет противоположный знак).

Найти:

$E_{ц1}$ — напряженность поля в центре треугольника для случая 1.

$E_{ц2}$ — напряженность поля в центре треугольника для случая 2.

Решение:

Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника. Центр такого треугольника (точка O) равноудален от всех трех вершин. Найдем это расстояние $\text{r}$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$ вычисляется как $h = a \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Центр треугольника является точкой пересечения медиан и делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, расстояние от каждой вершины до центра $\text{r}$ равно $\frac{2}{3}$ высоты:

$r = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$, по модулю равна:

$E_{один} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$

Подставим найденное расстояние $\text{r}$ в эту формулу, чтобы найти модуль напряженности поля от каждого заряда в центре треугольника:

$E_{один} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{(a/\sqrt{3})^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{a^2/3} = \frac{3|q|}{4\pi\epsilon_0 a^2}$

Результирующая напряженность в центре треугольника находится по принципу суперпозиции как векторная сумма полей от каждого из трех зарядов.

Какова напряженность поля в центре треугольника, образованного этими зарядами?

В этом случае все три заряда одинаковы: $q_1 = q_2 = q_3 = q$. Пусть $q > 0$. Тогда векторы напряженности $\vec{E_1}$, $\vec{E_2}$ и $\vec{E_3}$, создаваемые каждым зарядом, будут направлены от соответствующей вершины. Все три вектора имеют одинаковый модуль $E_{один}$.

Угол между любыми двумя из этих векторов составляет $120^\circ$. Результирующая напряженность поля $\vec{E_{ц1}}$ равна их векторной сумме:

$\vec{E_{ц1}} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3}$

Из-за симметрии системы сумма трех векторов одинаковой величины, расположенных под углом $120^\circ$ друг к другу, равна нулю. Если спроецировать векторы на любую ось, сумма проекций будет равна нулю. Следовательно, результирующий вектор напряженности равен нулю.

$\vec{E_{ц1}} = 0$

Ответ: $\text{0}$

Чему будет равна напряженность, если один из зарядов будет иметь противоположный знак?

Пусть заряды равны $q_1 = q$, $q_2 = q$ и $q_3 = -q$. Поля $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ создаются положительными зарядами, а поле $\vec{E_3}$ — отрицательным. Результирующая напряженность $\vec{E_{ц2}}$ равна:

$\vec{E_{ц2}} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3}$

Воспользуемся результатом из первой части. Для трех одинаковых положительных зарядов $\text{q}$ сумма полей была равна нулю:

$\vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E}_{3,q} = 0$

где $\vec{E}_{3,q}$ — это поле, которое создавал бы положительный заряд $\text{q}$ в третьей вершине. Отсюда следует, что сумма полей от первых двух зарядов равна:

$\vec{E_1} + \vec{E_2} = -\vec{E}_{3,q}$

Поле $\vec{E_3}$ от заряда $-q$ имеет тот же модуль, что и поле $\vec{E}_{3,q}$ от заряда $\text{q}$, но направлено в противоположную сторону. То есть, $\vec{E_3} = -\vec{E}_{3,q}$.

Теперь подставим эти выражения в формулу для результирующей напряженности:

$\vec{E_{ц2}} = (\vec{E_1} + \vec{E_2}) + \vec{E_3} = (-\vec{E}_{3,q}) + (-\vec{E}_{3,q}) = -2\vec{E}_{3,q}$

Это означает, что результирующее поле $\vec{E_{ц2}}$ сонаправлено с полем $\vec{E_3}$ (то есть направлено к отрицательному заряду $q_3$), а его модуль вдвое больше модуля поля, создаваемого одним зарядом.

$E_{ц2} = |-2\vec{E}_{3,q}| = 2 \cdot E_{один} = 2 \cdot \frac{3q}{4\pi\epsilon_0 a^2} = \frac{6q}{4\pi\epsilon_0 a^2} = \frac{3q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$

Ответ: $\frac{3q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$