Номер 13, страница 36, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*13. Два одинаковых шарика, которые обладают одноименными и равными по величине зарядами, соединили пружиной длиной 4 см и жесткостью 20 Н/м. Шарики колеблются так, что расстояние между ними меняется от 3 см до 6 см. Определите величину заряда шариков.

(Ответ: 140 нКл)

Дано:

Длина пружины в недеформированном состоянии, $L_0 = 4$ см

Жесткость пружины, $k = 20$ Н/м

Минимальное расстояние между шариками, $r_{min} = 3$ см

Максимальное расстояние между шариками, $r_{max} = 6$ см

Заряды шариков одинаковы и одноименны, $q_1 = q_2 = q$

Электрическая постоянная, $k_e = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$L_0 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$r_{min} = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$r_{max} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Величину заряда шариков, $\text{q}$.

Решение:

Система, состоящая из двух шариков и пружины, является консервативной, так как на нее не действуют внешние неконсервативные силы (трение и сопротивление воздуха не учитываем). Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная энергия системы складывается из кинетической энергии шариков, потенциальной энергии упругой деформации пружины и электростатической потенциальной энергии взаимодействия зарядов.

В крайних точках колебаний, когда расстояние между шариками минимально ($r_{min}$) и максимально ($r_{max}$), их относительная скорость равна нулю. Следовательно, кинетическая энергия системы в эти моменты также равна нулю. Полная энергия в этих точках равна сумме потенциальных энергий.

Полная энергия в момент, когда расстояние равно $r_{min}$:

$E_1 = E_{p, упр1} + E_{p, эл1} = \frac{1}{2}k(r_{min} - L_0)^2 + \frac{k_e q^2}{r_{min}}$

Здесь $(r_{min} - L_0)$ - деформация пружины (сжатие), а $\frac{k_e q^2}{r_{min}}$ - электростатическая потенциальная энергия.

Полная энергия в момент, когда расстояние равно $r_{max}$:

$E_2 = E_{p, упр2} + E_{p, эл2} = \frac{1}{2}k(r_{max} - L_0)^2 + \frac{k_e q^2}{r_{max}}$

Здесь $(r_{max} - L_0)$ - деформация пружины (растяжение).

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{1}{2}k(r_{min} - L_0)^2 + \frac{k_e q^2}{r_{min}} = \frac{1}{2}k(r_{max} - L_0)^2 + \frac{k_e q^2}{r_{max}}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие заряд $\text{q}$, в левой части уравнения, а слагаемые, связанные с пружиной, в правой:

$\frac{k_e q^2}{r_{min}} - \frac{k_e q^2}{r_{max}} = \frac{1}{2}k(r_{max} - L_0)^2 - \frac{1}{2}k(r_{min} - L_0)^2$

Вынесем общие множители за скобки:

$k_e q^2 \left(\frac{1}{r_{min}} - \frac{1}{r_{max}}\right) = \frac{1}{2}k \left[(r_{max} - L_0)^2 - (r_{min} - L_0)^2\right]$

Преобразуем выражения в скобках. Левую часть приведем к общему знаменателю, а в правой используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$k_e q^2 \left(\frac{r_{max} - r_{min}}{r_{min}r_{max}}\right) = \frac{1}{2}k ((r_{max} - L_0) - (r_{min} - L_0))((r_{max} - L_0) + (r_{min} - L_0))$

$k_e q^2 \left(\frac{r_{max} - r_{min}}{r_{min}r_{max}}\right) = \frac{1}{2}k (r_{max} - r_{min})(r_{max} + r_{min} - 2L_0)$

Так как $r_{max} \neq r_{min}$, можно сократить обе части на $(r_{max} - r_{min})$:

$\frac{k_e q^2}{r_{min}r_{max}} = \frac{1}{2}k (r_{max} + r_{min} - 2L_0)$

Разделим обе части на 2 и преобразуем:

$\frac{k_e q^2}{r_{min}r_{max}} = k \left(\frac{r_{max} + r_{min}}{2} - L_0\right)$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{k \cdot r_{min}r_{max}}{k_e} \left(\frac{r_{max} + r_{min}}{2} - L_0\right)$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$q^2 = \frac{20 \cdot 0.03 \cdot 0.06}{9 \cdot 10^9} \left(\frac{0.06 + 0.03}{2} - 0.04\right)$

$q^2 = \frac{0.036}{9 \cdot 10^9} \left(\frac{0.09}{2} - 0.04\right)$

$q^2 = 4 \cdot 10^{-12} \cdot (0.045 - 0.04)$

$q^2 = 4 \cdot 10^{-12} \cdot 0.005 = 20 \cdot 10^{-15} = 2 \cdot 10^{-14} \text{ Кл}^2$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти величину заряда $\text{q}$:

$q = \sqrt{2 \cdot 10^{-14}} = \sqrt{2} \cdot 10^{-7} \approx 1.414 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

Выразим ответ в нанокулонах (1 нКл = $10^{-9}$ Кл):

$q \approx 1.414 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 141.4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \approx 141.4 \text{ нКл}$

Округляя результат, получаем значение, указанное в ответе к задаче.

Ответ: $q \approx 140$ нКл.