Номер 10, страница 36, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

10. На расстоянии $5 \cdot 10^2$ м от поверхности шара потенциал равен 600 В, на расстоянии $10^1$ м он составляет 420 В. До какого потенциала заряжен шар?

(Ответ:$ $ 1,07 кВ)

Дано:

$h_1 = 5 \cdot 10^{-2}$ м

$\phi_1 = 600$ В

$h_2 = 10^{-1}$ м $= 0.1$ м

$\phi_2 = 420$ В

Найти:

$\phi_{шара}$ - потенциал на поверхности шара.

Решение:

Потенциал электрического поля, создаваемого заряженным шаром на расстоянии $\text{r}$ от его центра (при $r \ge R$, где $\text{R}$ - радиус шара), определяется по формуле:

$\phi = k\frac{q}{r}$

где $\text{k}$ - электростатическая постоянная, $\text{q}$ - заряд шара.

В условии задачи даны расстояния от поверхности шара. Обозначим радиус шара как $\text{R}$. Тогда расстояния от центра шара до точек измерения потенциала равны $r_1 = R + h_1$ и $r_2 = R + h_2$.

Запишем систему уравнений для двух точек:

$\phi_1 = k\frac{q}{R+h_1}$

$\phi_2 = k\frac{q}{R+h_2}$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить неизвестные $\text{k}$ и $\text{q}$:

$\frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{k\frac{q}{R+h_1}}{k\frac{q}{R+h_2}} = \frac{R+h_2}{R+h_1}$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $\text{R}$:

$\frac{600}{420} = \frac{R + 0.1}{R + 5 \cdot 10^{-2}}$

$\frac{10}{7} = \frac{R + 0.1}{R + 0.05}$

$10(R + 0.05) = 7(R + 0.1)$

$10R + 0.5 = 7R + 0.7$

$3R = 0.2$

$R = \frac{0.2}{3} = \frac{1}{15}$ м

Теперь найдем потенциал на поверхности шара $\phi_{шара}$. Он равен:

$\phi_{шара} = k\frac{q}{R}$

Воспользуемся соотношением между потенциалом на поверхности и потенциалом в точке 1:

$\frac{\phi_{шара}}{\phi_1} = \frac{k\frac{q}{R}}{k\frac{q}{R+h_1}} = \frac{R+h_1}{R} = 1 + \frac{h_1}{R}$

Отсюда выразим $\phi_{шара}$:

$\phi_{шара} = \phi_1 \left(1 + \frac{h_1}{R}\right)$

Подставим численные значения:

$\phi_{шара} = 600 \cdot \left(1 + \frac{0.05}{1/15}\right) = 600 \cdot (1 + 0.05 \cdot 15) = 600 \cdot (1 + 0.75) = 600 \cdot 1.75 = 1050$ В

Переведем в киловольты для сравнения с приведенным в скобках ответом: $1050 \text{ В} = 1.05 \text{ кВ}$.

Ответ: 1050 В.