Номер 3, страница 35, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. По тонкому проволочному кольцу радиуса $\text{R}$ равномерно распределен заряд $\text{q}$. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в произвольной точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном:

а) к плоскости кольца;

б) в центре кольца.

Дано:

Тонкое проволочное кольцо

Радиус кольца: $\text{R}$

Заряд, равномерно распределенный по кольцу: $\text{q}$

Найти:

Напряженность $\text{E}$ и потенциал $\phi$ электрического поля:

а) в произвольной точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр (т.е. на оси кольца).

б) в центре кольца.

Решение:

Введем декартову систему координат. Расположим кольцо в плоскости $xy$ так, чтобы его центр совпадал с началом координат $(0,0,0)$. Ось кольца, следовательно, будет совпадать с осью $\text{z}$. Мы будем находить напряженность и потенциал в произвольной точке $\text{M}$ на этой оси с координатами $(0, 0, z)$.

Поскольку заряд $\text{q}$ распределен равномерно по кольцу длиной $2\pi R$, линейная плотность заряда составляет $\lambda = \frac{q}{2\pi R}$.

а) к плоскости кольца

Рассмотрим произвольную точку $\text{M}$ на оси кольца на расстоянии $\text{z}$ от его центра.

Расчет потенциала ($\phi$):

Потенциал является скалярной величиной, поэтому для нахождения общего потенциала в точке $\text{M}$ можно просто сложить потенциалы, создаваемые всеми элементарными зарядами кольца. Расстояние от любого элементарного заряда $dq$ на кольце до точки $\text{M}$ одинаково и по теореме Пифагора равно $r = \sqrt{R^2 + z^2}$.

Потенциал $d\phi$, создаваемый элементом заряда $dq$, в точке $\text{M}$ равен:

$d\phi = k \frac{dq}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{\sqrt{R^2 + z^2}}$

Для нахождения полного потенциала $\phi$ проинтегрируем это выражение по всему кольцу:

$\phi = \int_{\text{кольцо}} d\phi = \int_{\text{кольцо}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{\sqrt{R^2 + z^2}}$

Так как расстояние $r = \sqrt{R^2 + z^2}$ одинаково для всех точек кольца, множитель можно вынести за знак интеграла:

$\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{R^2 + z^2}} \int_{\text{кольцо}} dq$

Интеграл от $dq$ по всему кольцу равен полному заряду кольца $\text{q}$. Следовательно, потенциал в точке $\text{M}$ равен:

$\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + z^2}}$

Расчет напряженности ($\text{E}$):

Напряженность – векторная величина. Рассмотрим вектор напряженности $d\vec{E}$, создаваемый элементом заряда $dq$. Его модуль равен:

$dE = k \frac{|dq|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|dq|}{R^2 + z^2}$

Из соображений симметрии, для каждого элемента $dq$ найдется диаметрально противоположный элемент, создающий поле, горизонтальная компонента которого (перпендикулярная оси $\text{z}$) будет противоположна по направлению. Таким образом, все перпендикулярные оси $\text{z}$ компоненты векторов $d\vec{E}$ при суммировании по всему кольцу взаимно уничтожатся. Результирующий вектор напряженности $\vec{E}$ будет направлен вдоль оси $\text{z}$.

Найдем проекцию вектора $d\vec{E}$ на ось $\text{z}$: $dE_z = dE \cos\alpha$, где $\alpha$ – угол между вектором $d\vec{E}$ и осью $\text{z}$. Из геометрии задачи $\cos\alpha = \frac{z}{r} = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}$.

$dE_z = \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{R^2 + z^2} \right) \cdot \left( \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{z dq}{(R^2 + z^2)^{3/2}}$

Полная напряженность $\text{E}$ равна интегралу от $dE_z$ по всему кольцу:

$E = E_z = \int_{\text{кольцо}} dE_z = \int_{\text{кольцо}} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{z dq}{(R^2 + z^2)^{3/2}}$

Вынося постоянные множители за знак интеграла, получаем:

$E = \frac{z}{4\pi\epsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} \int_{\text{кольцо}} dq = \frac{z}{4\pi\epsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} \cdot q$

Таким образом, модуль напряженности электрического поля в точке $\text{M}$ на оси кольца равен:

$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q z}{(R^2 + z^2)^{3/2}}$

Вектор $\vec{E}$ направлен вдоль оси $\text{z}$ от кольца, если $q > 0$, и к кольцу, если $q < 0$.

Ответ:

Потенциал: $\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + z^2}}$

Напряженность: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q z}{(R^2 + z^2)^{3/2}}$

б) в центре кольца

Центр кольца является частным случаем точки на оси при $z = 0$. Для нахождения потенциала и напряженности в этой точке можно использовать формулы, полученные в пункте а), подставив в них $z=0$.

Расчет потенциала ($\phi$):

Подставим $z=0$ в формулу для потенциала:

$\phi_{центр} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + 0^2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$

Расчет напряженности ($\text{E}$):

Подставим $z=0$ в формулу для напряженности:

$E_{центр} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \cdot 0}{(R^2 + 0^2)^{3/2}} = 0$

Результат $E=0$ в центре кольца очевиден из симметрии: поля, создаваемые любыми двумя диаметрально противоположными элементами заряда, равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их сумма равна нулю. Сумма по всему кольцу также будет равна нулю.

Ответ:

Потенциал: $\phi_{центр} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$

Напряженность: $E_{центр} = 0$