Номер 2, страница 35, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Постройте графики изменения напряженности и потенциала поля вдоль линии, проходящей через два точечных заряда, находящихсяна расстоянии $\text{2d}$ друг от друга. Значения зарядов следующие:

а) $+q$ и $-q$;

б) $+q$ и $+q$;

в) $+q$ и $-3q$.

Для решения задачи введем одномерную систему координат (ось X), на которой расположены заряды. Линия, проходящая через заряды, будет совпадать с этой осью. Поместим начало координат $x=0$ в середину отрезка, соединяющего заряды. Тогда первый заряд будет находиться в точке $x = -d$, а второй — в точке $x = +d$.

Напряженность $\text{E}$ является векторной величиной, поэтому мы будем строить график проекции вектора напряженности на ось X, $E_x(x)$. Потенциал $\phi$ — скалярная величина.

Общие формулы, основанные на принципе суперпозиции:

Потенциал в точке $\text{x}$: $\phi(x) = \phi_1(x) + \phi_2(x) = k \frac{q_1}{|x - x_1|} + k \frac{q_2}{|x - x_2|} = k \frac{q_1}{|x + d|} + k \frac{q_2}{|x - d|}$

Проекция напряженности на ось X в точке $\text{x}$: $E_x(x) = E_{1x}(x) + E_{2x}(x)$. Направление поля от положительного заряда — "от" заряда, к отрицательному — "к" заряду.

а) +q и –q

Дано:

Заряд $q_1 = +q$ в точке $x_1 = -d$

Заряд $q_2 = -q$ в точке $x_2 = +d$

Расстояние между зарядами $2d$

Найти:

Графики зависимостей $E_x(x)$ и $\phi(x)$.

Решение:

График напряженности $E_x(x)$:

1. В области между зарядами ($-d < x < d$): поле от заряда $+q$ направлено вправо (положительное), и поле от заряда $-q$ также направлено вправо (положительное). Поля складываются: $E_x(x) = k\frac{q}{(d+x)^2} + k\frac{q}{(d-x)^2}$. Напряженность всегда положительна. В точках $x \to -d^+$ и $x \to +d^-$, $E_x \to +\infty$. Минимальное значение напряженность имеет в центре, при $x=0$, $E_x(0) = \frac{2kq}{d^2}$.

2. В области $x > d$: поле от $+q$ направлено вправо (положительное), а поле от $-q$ — влево (отрицательное). $E_x(x) = k\frac{q}{(x+d)^2} - k\frac{q}{(x-d)^2}$. Так как $(x-d) < (x+d)$, то $\frac{1}{(x-d)^2} > \frac{1}{(x+d)^2}$, поэтому $E_x(x)$ будет отрицательной. При $x \to +d^+$, $E_x \to -\infty$. При $x \to \infty$, $E_x \to 0$.

3. В области $x < -d$: поле от $+q$ направлено влево (отрицательное), а поле от $-q$ — вправо (положительное). $E_x(x) = -k\frac{q}{(x+d)^2} + k\frac{q}{(x-d)^2}$. Аналогично, $E_x(x)$ будет отрицательной. При $x \to -d^-$, $E_x \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $E_x \to 0$.

График представляет собой кривую, приходящую из нуля при $x \to -\infty$, уходящую в $-\infty$ в точке $x=-d$. Затем от $+\infty$ в точке $x=-d$ кривая опускается до минимума в $x=0$, затем снова поднимается до $+\infty$ в точке $x=d$. Далее от $-\infty$ в точке $x=d$ кривая поднимается к нулю при $x \to +\infty$.

График потенциала $\phi(x)$:

Формула: $\phi(x) = k \frac{q}{|x+d|} + k \frac{-q}{|x-d|} = kq \left( \frac{1}{|x+d|} - \frac{1}{|x-d|} \right)$.

1. В точках $x = -d$ и $x = +d$ потенциал обращается в $+\infty$ и $-\infty$ соответственно.

2. В центре, при $x=0$, $\phi(0) = kq(\frac{1}{d} - \frac{1}{d}) = 0$.

3. При $x \to \pm\infty$, потенциал $\phi \to 0$.

График представляет собой кривую, которая начинается от нуля на $-\infty$, возрастает до $+\infty$ в точке $x=-d$. Затем от $-\infty$ в точке $x=-d$ кривая монотонно возрастает, проходит через нуль в точке $x=0$, и далее уходит в $-\infty$ в точке $x=+d$. Затем от $+\infty$ в точке $x=+d$ кривая монотонно убывает до нуля на $+\infty$. На самом деле, функция потенциала непрерывна везде, кроме точек расположения зарядов. График представляет собой непрерывную убывающую кривую, приходящую из 0 на $-\infty$, уходящую в $+\infty$ при $x \to -d^-$, затем от $-\infty$ при $x \to -d^+$ она продолжает убывать до $-\infty$ при $x \to +d^-$, и затем от $-\infty$ при $x \to +d^+$ она возрастает к 0 при $x \to +\infty$.

Ответ: Графики напряженности и потенциала имеют разрывы в точках $x=\pm d$. График $E_x(x)$ симметричен относительно оси ординат, а график $\phi(x)$ антисимметричен относительно точки $(0,0)$ в интервале $(-d, d)$.

б) +q и +q

Дано:

Заряд $q_1 = +q$ в точке $x_1 = -d$

Заряд $q_2 = +q$ в точке $x_2 = +d$

Расстояние между зарядами $2d$

Найти:

Графики зависимостей $E_x(x)$ и $\phi(x)$.

Решение:

График напряженности $E_x(x)$:

1. В области между зарядами ($-d < x < d$): поле от $q_1$ направлено вправо (положительное), а от $q_2$ — влево (отрицательное). $E_x(x) = k\frac{q}{(d+x)^2} - k\frac{q}{(d-x)^2}$. В центре, при $x=0$, $E_x(0)=0$. При $x>0$, $E_x(x)<0$. При $x<0$, $E_x(x)>0$. При $x \to -d^+$, $E_x \to +\infty$. При $x \to +d^-$, $E_x \to -\infty$.

2. В области $x > d$: оба поля направлены вправо. $E_x(x) = k\frac{q}{(x+d)^2} + k\frac{q}{(x-d)^2}$. Напряженность положительна. При $x \to +d^+$, $E_x \to +\infty$. При $x \to \infty$, $E_x \to 0$.

3. В области $x < -d$: оба поля направлены влево. $E_x(x) = -k\frac{q}{(x+d)^2} - k\frac{q}{(x-d)^2}$. Напряженность отрицательна. При $x \to -d^-$, $E_x \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $E_x \to 0$.

График антисимметричен относительно начала координат. Он приходит из нуля на $-\infty$, уходит в $-\infty$ в точке $x=-d$. Затем от $+\infty$ в точке $x=-d$ кривая убывает, проходит через нуль в $x=0$ и уходит в $-\infty$ в точке $x=d$. Далее от $+\infty$ в точке $x=d$ кривая убывает к нулю на $+\infty$.

График потенциала $\phi(x)$:

Формула: $\phi(x) = k \frac{q}{|x+d|} + k \frac{q}{|x-d|} = kq \left( \frac{1}{|x+d|} + \frac{1}{|x-d|} \right)$.

1. Потенциал всегда положителен, $\phi(x) > 0$.

2. В точках $x = \pm d$, потенциал $\phi \to +\infty$.

3. График симметричен относительно оси ординат. В центре, при $x=0$, потенциал имеет минимальное значение $\phi(0) = \frac{2kq}{d}$.

4. При $x \to \pm\infty$, $\phi \to 0$.

График представляет собой "яму" с двумя вертикальными асимптотами, уходящими в $+\infty$ в точках $x=\pm d$. Минимум находится в точке $(0, 2kq/d)$. Слева и справа от зарядов кривые убывают к нулю.

Ответ: Графики напряженности и потенциала имеют разрывы в точках $x=\pm d$. График $E_x(x)$ антисимметричен относительно начала координат. График $\phi(x)$ симметричен относительно оси OY.

в) +q и –3q

Дано:

Заряд $q_1 = +q$ в точке $x_1 = -d$

Заряд $q_2 = -3q$ в точке $x_2 = +d$

Расстояние между зарядами $2d$

Найти:

Графики зависимостей $E_x(x)$ и $\phi(x)$.

Решение:

График напряженности $E_x(x)$:

1. В области между зарядами ($-d < x < d$): поле от $+q$ направлено вправо, и поле от $-3q$ также направлено вправо. $E_x(x) = k\frac{q}{(d+x)^2} + k\frac{3q}{(d-x)^2}$. Напряженность всегда положительна и не имеет нулей. При $x \to -d^+$, $E_x \to +\infty$. При $x \to +d^-$, $E_x \to +\infty$.

2. В области $x > d$: поле от $+q$ вправо, от $-3q$ влево. $E_x(x) = k\frac{q}{(x+d)^2} - k\frac{3q}{(x-d)^2}$. В этой области нет точки, где $E_x=0$. Так как заряд $-3q$ больше по модулю, его поле на больших расстояниях доминирует, поэтому $E_x < 0$. При $x \to +d^+$, $E_x \to -\infty$. При $x \to \infty$, $E_x \to 0$.

3. В области $x < -d$: поле от $+q$ влево, от $-3q$ вправо. $E_x(x) = -k\frac{q}{(x+d)^2} + k\frac{3q}{(x-d)^2}$. В этой области есть точка, где $E_x=0$. Это происходит, когда $\frac{1}{(x+d)^2} = \frac{3}{(x-d)^2}$, что дает $x = -d(2+\sqrt{3}) \approx -3.73d$. При $x \to -\infty$, $E_x \to 0$. При $x \to -d^-$, $E_x \to -\infty$.

График: от нуля на $-\infty$ кривая поднимается до максимума, пересекает ноль в точке $x \approx -3.73d$, затем уходит в $-\infty$ в точке $x=-d$. Далее от $+\infty$ в точке $x=-d$ кривая опускается до минимума и снова уходит в $+\infty$ в точке $x=d$. От $-\infty$ в точке $x=d$ кривая поднимается к нулю на $+\infty$.

График потенциала $\phi(x)$:

Формула: $\phi(x) = k \frac{q}{|x+d|} + k \frac{-3q}{|x-d|} = kq \left( \frac{1}{|x+d|} - \frac{3}{|x-d|} \right)$.

1. В точке $x=-d$, $\phi \to +\infty$. В точке $x=+d$, $\phi \to -\infty$.

2. Потенциал равен нулю в точках, где $\frac{1}{|x+d|} = \frac{3}{|x-d|}$. Решения: $x = -d/2$ (между зарядами) и $x = -2d$ (слева от зарядов).

3. При $x \to \pm\infty$, доминирует заряд $-3q$, поэтому $\phi \approx \frac{k(q-3q)}{|x|} = \frac{-2kq}{|x|} \to 0$ (приближается к нулю снизу).

График: от нуля на $-\infty$ кривая возрастает, пересекает ноль в $x=-2d$, уходит в $+\infty$ в точке $x=-d$. Затем от $+\infty$ в точке $x=-d$ кривая убывает, пересекает ноль в $x=-d/2$ и уходит в $-\infty$ в точке $x=d$. От $-\infty$ в точке $x=d$ кривая возрастает к нулю на $+\infty$. Между зарядами есть точка максимума (где $E_x > 0$), и слева от заряда $\text{q}$ есть точка минимума (где $E_x$ меняет знак).

Ответ: Графики напряженности и потенциала имеют асимптотические разрывы в точках $x=\pm d$. Графики несимметричны из-за неравенства зарядов. Есть две точки, где потенциал равен нулю, и одна точка (кроме бесконечности), где напряженность равна нулю.