Номер 8, страница 36, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*8. 100 маленьких одинаковых капель потенциалом 3,0 В каждая при слиянии образовали одну каплю. Каков ее потенциал?

(Ответ: 65 В)

*8 Дано:

Число маленьких капель, $N = 100$

Потенциал каждой маленькой капли, $\phi_1 = 3,0 \text{ В}$

Найти:

Потенциал большой капли, $\Phi$

Решение:

Будем считать капли проводящими сферами. Потенциал $\phi$ уединенного проводящего шара радиусом $\text{r}$ с зарядом $\text{q}$ определяется по формуле:

$\phi = k \frac{q}{r}$, где $\text{k}$ — коэффициент в законе Кулона.

Для одной маленькой капли радиусом $r_1$ и зарядом $q_1$ потенциал равен:

$\phi_1 = k \frac{q_1}{r_1}$

Отсюда можно выразить заряд одной маленькой капли:

$q_1 = \frac{\phi_1 r_1}{k}$

При слиянии $\text{N}$ маленьких капель в одну большую выполняется закон сохранения электрического заряда. Заряд большой капли $\text{Q}$ будет равен сумме зарядов всех маленьких капель:

$Q = N \cdot q_1 = N \frac{\phi_1 r_1}{k}$

Также при слиянии сохраняется объем вещества. Объем большой капли $\text{V}$ равен сумме объемов $\text{N}$ маленьких капель $V_1$. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

$V = N \cdot V_1$

$\frac{4}{3}\pi R^3 = N \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3$

где $\text{R}$ — радиус большой капли.

Из этого равенства находим связь между радиусами большой и маленькой капель:

$R^3 = N \cdot r_1^3$

$R = \sqrt[3]{N} \cdot r_1$

Теперь найдем потенциал $\Phi$ большой капли, используя его определение:

$\Phi = k \frac{Q}{R}$

Подставим полученные выражения для заряда $\text{Q}$ и радиуса $\text{R}$:

$\Phi = k \frac{N \frac{\phi_1 r_1}{k}}{\sqrt[3]{N} \cdot r_1}$

Сократив $\text{k}$ и $r_1$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\Phi = \frac{N}{\sqrt[3]{N}} \phi_1 = N^{1 - \frac{1}{3}} \phi_1 = N^{\frac{2}{3}} \phi_1$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$N = 100$

$\phi_1 = 3,0 \text{ В}$

$\Phi = 100^{\frac{2}{3}} \cdot 3,0 = (\sqrt[3]{100})^2 \cdot 3,0$

Вычислим значение:

$\sqrt[3]{100} \approx 4,6416$

$\Phi \approx (4,6416)^2 \cdot 3,0 \approx 21,544 \cdot 3,0 \approx 64,63 \text{ В}$

Исходное значение потенциала дано с двумя значащими цифрами (3,0 В), поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

$\Phi \approx 65 \text{ В}$

Ответ: $65 \text{ В}$.