Номер 12, страница 36, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

12. Определите напряженность и потенциал в точке, находящейся на расстоянии 20 см от поверхности заряженной сферы радиусом 10 см, если потенциал сферы равен 240 В.

(Ответ: $267 \text{ В/м}$; $80 \text{ В}$)

Дано:

Расстояние от поверхности сферы, $d = 20$ см

Радиус сферы, $R = 10$ см

Потенциал сферы, $\phi_{сферы} = 240$ В

$d = 0,2$ м

$R = 0,1$ м

Найти:

Напряженность $E - ?$

Потенциал $\phi - ?$

Решение:

Электрическое поле заряженной проводящей сферы вне ее эквивалентно полю точечного заряда, помещенного в центр сферы, величина которого равна заряду сферы $\text{q}$.

Расстояние от центра сферы до точки, в которой необходимо определить напряженность и потенциал, равно сумме радиуса сферы и расстояния от ее поверхности:

$r = R + d = 0,1 \text{ м} + 0,2 \text{ м} = 0,3 \text{ м}$

Потенциал на поверхности сферы радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$ определяется формулой:

$\phi_{сферы} = k \frac{q}{R}$

где $\text{k}$ - электростатическая постоянная ($k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$).

Потенциал в искомой точке на расстоянии $\text{r}$ от центра сферы определяется формулой:

$\phi = k \frac{q}{r}$

Чтобы найти искомый потенциал $\phi$, не вычисляя заряд $\text{q}$ и не используя константу $\text{k}$, можно составить пропорцию, разделив выражение для $\phi$ на выражение для $\phi_{сферы}$:

$\frac{\phi}{\phi_{сферы}} = \frac{k \frac{q}{r}}{k \frac{q}{R}} = \frac{R}{r}$

Отсюда выражаем искомый потенциал $\phi$:

$\phi = \phi_{сферы} \cdot \frac{R}{r}$

Подставим числовые значения:

$\phi = 240 \text{ В} \cdot \frac{0,1 \text{ м}}{0,3 \text{ м}} = 240 \cdot \frac{1}{3} = 80 \text{ В}$

Напряженность электрического поля в точке на расстоянии $\text{r}$ от центра сферы определяется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

Из формулы для потенциала сферы выразим величину $k \cdot q$: $k \cdot q = \phi_{сферы} \cdot R$.

Подставим это выражение в формулу для напряженности:

$E = \frac{|k \cdot q|}{r^2} = \frac{\phi_{сферы} \cdot R}{r^2}$

Подставим числовые значения:

$E = \frac{240 \text{ В} \cdot 0,1 \text{ м}}{(0,3 \text{ м})^2} = \frac{24}{0,09} = \frac{2400}{9} = \frac{800}{3} \approx 266,67 \text{ В/м}$

Округляя до целого числа, получаем $E \approx 267$ В/м.

Ответ: напряженность $E \approx 267$ В/м, потенциал $\phi = 80$ В.