Номер 10, страница 59, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*10. Два конденсатора, емкость первого из которых в 4 раза больше емкости второго, соединили последовательно и подключили к источнику тока с напряжением 120 В. Емкость второго конденсатора $C = 5 \text{ мкФ}$: а) определите напряжение на каждом конденсаторе; б) на каком конденсаторе энергия будет больше и во сколько раз? в) каково отношение зарядов, накопленных конденсаторами.

Затем заряженные конденсаторы отключили от источника тока и друг от друга и соединили параллельно: г) каким будет после этого напряжение на конденсаторах? д) какое количество теплоты выделится после того, как конденсаторы соединили параллельно?

(Ответ: а) $U_1 = 24 \text{ В}$; $U_2 = 96 \text{ В}$; б) $W_1 = 5,76 \text{ мДж}$, $W_2 = 23 \text{ мДж}$; в) $q_1/q_2 = 1$; г) $U_1 = U_2 = 38,4 \text{ В}$; д) $Q = 10,33 \text{ мДж})$

Дано:

$C_1 = 4C_2$

$U = 120 \text{ В}$

$C_2 = 5 \text{ мкФ}$

$C_2 = 5 \text{ мкФ} = 5 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

а) $U_1, U_2$ - ?

б) $W_1, W_2$, на каком энергия больше и во сколько раз - ?

в) $q_1/q_2$ - ?

г) $U'_1, U'_2$ - ?

д) $\text{Q}$ - ?

Решение:

Сначала найдем емкость первого конденсатора $C_1$:

$C_1 = 4C_2 = 4 \times 5 \text{ мкФ} = 20 \text{ мкФ} = 20 \times 10^{-6} \text{ Ф}$.

а) При последовательном соединении конденсаторов заряды на них равны ($q_1 = q_2 = q$), а общее напряжение равно сумме напряжений на каждом конденсаторе ($U = U_1 + U_2$).

Напряжение на каждом конденсаторе можно выразить через заряд: $U_1 = q/C_1$ и $U_2 = q/C_2$.

Найдем общий заряд в цепи. Эквивалентная емкость при последовательном соединении рассчитывается по формуле:

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{C_1+C_2}{C_1 C_2}$

$C_{общ} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = \frac{100}{25} = 4 \text{ мкФ} = 4 \times 10^{-6} \text{ Ф}$.

Общий заряд в цепи: $q = C_{общ}U = 4 \times 10^{-6} \text{ Ф} \times 120 \text{ В} = 480 \times 10^{-6} \text{ Кл}$.

Теперь найдем напряжения на каждом конденсаторе:

$U_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{480 \times 10^{-6} \text{ Кл}}{20 \times 10^{-6} \text{ Ф}} = 24 \text{ В}$.

$U_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{480 \times 10^{-6} \text{ Кл}}{5 \times 10^{-6} \text{ Ф}} = 96 \text{ В}$.

Проверка: $U_1 + U_2 = 24 \text{ В} + 96 \text{ В} = 120 \text{ В}$, что соответствует напряжению источника.

Ответ: $U_1 = 24 \text{ В}$, $U_2 = 96 \text{ В}$.

б) Энергия, запасенная в конденсаторе, вычисляется по формуле $W = \frac{q^2}{2C}$.

Энергия первого конденсатора:

$W_1 = \frac{q^2}{2C_1} = \frac{(480 \times 10^{-6})^2}{2 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{230400 \times 10^{-12}}{40 \times 10^{-6}} = 5760 \times 10^{-6} \text{ Дж} = 5,76 \text{ мДж}$.

Энергия второго конденсатора:

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2} = \frac{(480 \times 10^{-6})^2}{2 \times 5 \times 10^{-6}} = \frac{230400 \times 10^{-12}}{10 \times 10^{-6}} = 23040 \times 10^{-6} \text{ Дж} = 23,04 \text{ мДж}$.

Сравнивая энергии, видим, что $W_2 > W_1$. Энергия больше на втором конденсаторе (с меньшей емкостью).

Найдем, во сколько раз энергия второго конденсатора больше:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{23,04 \text{ мДж}}{5,76 \text{ мДж}} = 4$.

Ответ: $W_1 = 5,76 \text{ мДж}$, $W_2 = 23,04 \text{ мДж}$. Энергия больше на втором конденсаторе в 4 раза.

в) При последовательном соединении через все элементы цепи протекает одинаковый заряд, поэтому заряды, накопленные на конденсаторах, равны: $q_1 = q_2$.

Следовательно, их отношение равно единице.

Ответ: $\frac{q_1}{q_2} = 1$.

г) После отключения от источника и соединения параллельно (положительная клемма к положительной, отрицательная к отрицательной) полный заряд системы сохраняется и перераспределяется. Суммарный заряд равен сумме зарядов на каждом конденсаторе:

$Q_{парал} = q_1 + q_2 = 480 \text{ мкКл} + 480 \text{ мкКл} = 960 \text{ мкКл} = 960 \times 10^{-6} \text{ Кл}$.

Эквивалентная емкость при параллельном соединении:

$C_{парал} = C_1 + C_2 = 20 \text{ мкФ} + 5 \text{ мкФ} = 25 \text{ мкФ} = 25 \times 10^{-6} \text{ Ф}$.

Напряжение на конденсаторах после их параллельного соединения будет одинаковым и равным:

$U' = \frac{Q_{парал}}{C_{парал}} = \frac{960 \times 10^{-6} \text{ Кл}}{25 \times 10^{-6} \text{ Ф}} = 38,4 \text{ В}$.

Таким образом, $U'_1 = U'_2 = 38,4 \text{ В}$.

Ответ: $U_1 = U_2 = 38,4 \text{ В}$.

д) Количество теплоты, которое выделится, равно разности суммарной энергии конденсаторов до и после их соединения параллельно.

Начальная суммарная энергия (до соединения):

$W_{начальная} = W_1 + W_2 = 5,76 \text{ мДж} + 23,04 \text{ мДж} = 28,8 \text{ мДж}$.

Конечная энергия системы (после соединения):

$W_{конечная} = \frac{1}{2}C_{парал}(U')^2 = \frac{1}{2}(25 \times 10^{-6} \text{ Ф})(38,4 \text{ В})^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 10^{-6} \times 1474,56 = 18432 \times 10^{-6} \text{ Дж} = 18,432 \text{ мДж}$.

Выделившееся количество теплоты:

$Q = W_{начальная} - W_{конечная} = 28,8 \text{ мДж} - 18,432 \text{ мДж} = 10,368 \text{ мДж}$.

Ответ: $Q = 10,368 \text{ мДж}$.