Номер 9, страница 59, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*9. Во сколько раз изменятся энергия и заряд бумажного конденсатора ($\epsilon = 2$), если расстояние между пластинами увеличить вдвое, а бумагу заменить слюдой ($\epsilon = 8$)? Рассмотреть два случая: а) конденсатор подключен к источнику тока; б) конденсатор отключен от источника тока.

(Ответ: а) уменьшились в 4 раза; б) увеличились в 4 раза)

Дано:

Начальная диэлектрическая проницаемость (бумага): $ε_1 = 2$

Конечная диэлектрическая проницаемость (слюда): $ε_2 = 8$

Начальное расстояние между пластинами: $d_1$

Конечное расстояние между пластинами: $d_2 = 2d_1$

Найти:

Во сколько раз изменятся заряд ($\text{q}$) и энергия ($\text{W}$) конденсатора в двух случаях.

$\frac{q_2}{q_1}$ - ?

$\frac{W_2}{W_1}$ - ?

Решение:

Емкость плоского конденсатора определяется по формуле: $C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$, где $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная, $\text{S}$ - площадь пластин, $\text{d}$ - расстояние между ними.

Начальная емкость конденсатора (с бумажным диэлектриком):

$C_1 = \frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d_1}$

Конечная емкость конденсатора (со слюдой и увеличенным расстоянием):

$C_2 = \frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d_2}$

Найдем отношение конечной емкости к начальной, подставив известные соотношения $d_2 = 2d_1$, $\epsilon_1 = 2$ и $\epsilon_2 = 8$:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d_2}}{\frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d_1}} = \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1} \cdot \frac{d_1}{d_2} = \frac{8}{2} \cdot \frac{d_1}{2d_1} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Таким образом, в результате изменений емкость конденсатора увеличилась в 2 раза ($C_2 = 2C_1$). Теперь рассмотрим два случая.

а) конденсатор подключен к источнику тока

Если конденсатор подключен к источнику, то напряжение на его пластинах остается постоянным и равным напряжению источника: $U_1 = U_2 = U$.

Заряд конденсатора определяется формулой $q = CU$. Найдем отношение зарядов:

$\frac{q_2}{q_1} = \frac{C_2 U}{C_1 U} = \frac{C_2}{C_1} = 2$

Заряд увеличился в 2 раза.

Энергия конденсатора в этом случае вычисляется по формуле $W = \frac{CU^2}{2}$. Найдем отношение энергий:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{C_2 U^2}{2}}{\frac{C_1 U^2}{2}} = \frac{C_2}{C_1} = 2$

Энергия также увеличилась в 2 раза.

Ответ: заряд и энергия увеличатся в 2 раза.

б) конденсатор отключен от источника тока

Если заряженный конденсатор был отключен от источника, то его заряд остается постоянным, так как цепь разомкнута: $q_1 = q_2 = q$.

Отношение зарядов: $\frac{q_2}{q_1} = 1$. Заряд не изменяется.

Энергия конденсатора при постоянном заряде вычисляется по формуле $W = \frac{q^2}{2C}$. Найдем отношение энергий:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{q^2}{2C_2}}{\frac{q^2}{2C_1}} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{2}$

Энергия уменьшилась в 2 раза.

Ответ: заряд не изменится, а энергия уменьшится в 2 раза.