Номер 2, страница 58, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Три конденсатора емкостью 12 мкФ рассчитаны на напряжение 600 В. Какие емкости можно получить и каковы допустимые напряжения в каждом случае?

Дано:

Количество конденсаторов, $N = 3$

Емкость каждого конденсатора, $C = 12$ мкФ

Максимальное напряжение на одном конденсаторе, $U_{max} = 600$ В

$C = 12 \text{ мкФ} = 12 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Возможные значения общей емкости $C_{общ}$ и соответствующие им допустимые напряжения $U_{доп}$.

Решение:

Для нахождения всех возможных емкостей и допустимых напряжений необходимо рассмотреть все возможные схемы соединения трех одинаковых конденсаторов.

1. Последовательное соединение трех конденсаторов

При последовательном соединении общая емкость $C_{посл}$ определяется по формуле: $ \frac{1}{C_{посл}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C} $

Отсюда общая емкость: $ C_{посл} = \frac{C}{3} = \frac{12 \text{ мкФ}}{3} = 4 \text{ мкФ} $

При последовательном соединении одинаковых конденсаторов общее напряжение распределяется между ними поровну. Поэтому допустимое напряжение для всей батареи равно сумме допустимых напряжений на каждом конденсаторе. $ U_{доп} = U_{max} + U_{max} + U_{max} = 3 \cdot U_{max} = 3 \cdot 600 \text{ В} = 1800 \text{ В} $

Ответ: можно получить емкость 4 мкФ, рассчитанную на напряжение 1800 В.

2. Параллельное соединение трех конденсаторов

При параллельном соединении общая емкость равна сумме емкостей: $ C_{пар} = C + C + C = 3 \cdot C = 3 \cdot 12 \text{ мкФ} = 36 \text{ мкФ} $

Напряжение на всех параллельно соединенных элементах одинаково. Следовательно, допустимое напряжение для всей батареи ограничивается максимальным напряжением одного конденсатора. $ U_{доп} = U_{max} = 600 \text{ В} $

Ответ: можно получить емкость 36 мкФ, рассчитанную на напряжение 600 В.

3. Смешанное соединение (два параллельно, один последовательно)

Два конденсатора соединяются параллельно, и эта группа соединяется последовательно с третьим конденсатором. Емкость параллельного участка $C_{p}$: $ C_{p} = C + C = 2 \cdot C = 2 \cdot 12 \text{ мкФ} = 24 \text{ мкФ} $

Общая емкость $C_{смеш1}$ всей цепи: $ \frac{1}{C_{смеш1}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C} = \frac{1}{24 \text{ мкФ}} + \frac{1}{12 \text{ мкФ}} = \frac{1+2}{24 \text{ мкФ}} = \frac{3}{24 \text{ мкФ}} $

$ C_{смеш1} = \frac{24}{3} \text{ мкФ} = 8 \text{ мкФ} $

Для нахождения допустимого напряжения $U_{доп}$ учтем, что заряд на последовательных участках одинаков: $q = C_p \cdot U_p = C \cdot U_s$, где $U_p$ - напряжение на параллельной паре, а $U_s$ - на одиночном конденсаторе. $ 24 \cdot U_p = 12 \cdot U_s \Rightarrow U_s = 2 \cdot U_p $

Напряжение ни на одном из конденсаторов не должно превышать $U_{max}=600$ В. Так как $U_s > U_p$, предельным является напряжение на одиночном конденсаторе: $U_{s.max} = 600$ В. Тогда напряжение на параллельной паре будет $U_p = U_{s.max} / 2 = 600 / 2 = 300$ В, что является безопасным значением. Общее допустимое напряжение равно сумме напряжений на последовательных участках: $ U_{доп} = U_s + U_p = 600 \text{ В} + 300 \text{ В} = 900 \text{ В} $

Ответ: можно получить емкость 8 мкФ, рассчитанную на напряжение 900 В.

4. Смешанное соединение (два последовательно, один параллельно)

Два конденсатора соединяются последовательно, и эта группа соединяется параллельно с третьим конденсатором. Емкость последовательного участка $C_{s}$: $ \frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \Rightarrow C_s = \frac{C}{2} = \frac{12 \text{ мкФ}}{2} = 6 \text{ мкФ} $

Общая емкость $C_{смеш2}$ всей цепи: $ C_{смеш2} = C_s + C = 6 \text{ мкФ} + 12 \text{ мкФ} = 18 \text{ мкФ} $

При параллельном соединении напряжение на обеих ветвях одинаково. Допустимое напряжение всей схемы определяется ветвью с наименьшим допустимым напряжением. Напряжение на ветви с одним конденсатором не может превышать $U_{max} = 600$ В. Ветвь с двумя последовательными конденсаторами может выдержать напряжение $2 \cdot U_{max} = 1200$ В. Следовательно, общее допустимое напряжение ограничивается первой ветвью. $ U_{доп} = U_{max} = 600 \text{ В} $

При этом напряжение на каждом из последовательно соединенных конденсаторов составит $600 \text{ В} / 2 = 300$ В, что безопасно.

Ответ: можно получить емкость 18 мкФ, рассчитанную на напряжение 600 В.