Номер 1, страница 58, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*1. Маленькие одинаковые капли ртути заряжены одноименно до потенциала $\Phi_0$ каждая. Определитепотенциал большой капли, образовавшейся при слиянии $\text{n}$ таких капель.

(Ответ: $\Phi = \sqrt[3]{n^2} \cdot \Phi_0$)

1. Дано:

Количество одинаковых капель ртути: $\text{n}$

Потенциал каждой маленькой капли: $\Phi_0$

Найти:

Потенциал большой капли: $\Phi$

Решение:

Будем рассматривать капли ртути как проводящие сферы. Потенциал уединенной проводящей сферы радиусом $\text{r}$ с зарядом $\text{q}$ определяется по формуле:

$\Phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$

где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Для одной маленькой капли, имеющей радиус $r_0$ и заряд $q_0$, потенциал равен $\Phi_0$:

$\Phi_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_0}{r_0}$

Из этого соотношения выразим заряд маленькой капли:

$q_0 = 4\pi\varepsilon_0 r_0 \Phi_0$

При слиянии $\text{n}$ маленьких капель в одну большую происходит сохранение полного электрического заряда. Поскольку все капли заряжены одноименно, заряд большой капли $\text{Q}$ будет равен сумме зарядов всех маленьких капель:

$Q = n \cdot q_0$

Также при слиянии капель сохраняется их общий объем, так как ртуть — несжимаемая жидкость. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Пусть $\text{R}$ — это радиус большой капли. Тогда ее объем равен сумме объемов $\text{n}$ маленьких капель:

$V_{большой} = n \cdot V_{маленькой}$

$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3$

Упростив это выражение, получим связь между радиусами большой и маленькой капель:

$R^3 = n \cdot r_0^3 \implies R = r_0 \cdot \sqrt[3]{n} = r_0 \cdot n^{1/3}$

Теперь определим потенциал $\Phi$ большой капли, используя ее заряд $\text{Q}$ и радиус $\text{R}$:

$\Phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R}$

Подставим в эту формулу выражения для $Q = n q_0$ и $R = r_0 n^{1/3}$, а затем и выражение для $q_0$:

$\Phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{n \cdot q_0}{r_0 \cdot n^{1/3}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{n \cdot (4\pi\varepsilon_0 r_0 \Phi_0)}{r_0 \cdot n^{1/3}}$

Сократим общие множители $4\pi\varepsilon_0$ и $r_0$:

$\Phi = \frac{n \cdot \Phi_0}{n^{1/3}}$

Используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($a^m / a^k = a^{m-k}$), получаем:

$\Phi = n^{(1 - 1/3)} \cdot \Phi_0 = n^{2/3} \cdot \Phi_0$

Это выражение можно также представить в виде корня:

$\Phi = \sqrt[3]{n^2} \cdot \Phi_0$

Ответ: $\Phi = \sqrt[3]{n^2} \cdot \Phi_0$.