Номер 3, страница 58, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Заряженный конденсатор подключили параллельно такому же незаряженному. Во сколько раз изменилась энергия поля?

Дано:

Конденсатор 1 (заряженный): емкость $C_1 = C$, начальный заряд $Q_{1,нач} = Q$.

Конденсатор 2 (незаряженный): емкость $C_2 = C$, начальный заряд $Q_{2,нач} = 0$.

Соединение: параллельное.

Найти:

Отношение начальной энергии поля к конечной: $\frac{W_{нач}}{W_{кон}}$

Решение:

Начальная энергия системы $W_{нач}$ равна энергии заряженного конденсатора, так как второй конденсатор не заряжен и его энергия равна нулю.

$W_{нач} = \frac{Q^2}{2C}$

После параллельного подключения второго конденсатора общий заряд системы $\text{Q}$ перераспределится между ними. Так как система из двух конденсаторов является электрически изолированной, по закону сохранения заряда, суммарный заряд системы останется неизменным:

$Q_{кон1} + Q_{кон2} = Q$

При параллельном соединении напряжение на обкладках конденсаторов становится одинаковым: $U_{кон1} = U_{кон2} = U_{кон}$. Так как по условию емкости конденсаторов равны ($C_1 = C_2 = C$), то и установившиеся на них заряды будут равны:

$Q_{кон1} = C \cdot U_{кон}$

$Q_{кон2} = C \cdot U_{кон}$

Следовательно, $Q_{кон1} = Q_{кон2}$.

Подставим это в уравнение закона сохранения заряда:

$Q_{кон1} + Q_{кон1} = Q \implies 2Q_{кон1} = Q \implies Q_{кон1} = \frac{Q}{2}$

Таким образом, заряд на каждом конденсаторе в конечном состоянии будет равен половине начального заряда первого конденсатора: $Q_{кон1} = Q_{кон2} = \frac{Q}{2}$.

Конечная энергия системы $W_{кон}$ равна сумме энергий двух конденсаторов:

$W_{кон} = \frac{Q_{кон1}^2}{2C} + \frac{Q_{кон2}^2}{2C} = \frac{(\frac{Q}{2})^2}{2C} + \frac{(\frac{Q}{2})^2}{2C} = \frac{Q^2/4}{2C} + \frac{Q^2/4}{2C} = \frac{Q^2}{8C} + \frac{Q^2}{8C} = \frac{2Q^2}{8C} = \frac{Q^2}{4C}$

Теперь найдем, во сколько раз изменилась энергия. Для этого вычислим отношение начальной энергии к конечной:

$\frac{W_{нач}}{W_{кон}} = \frac{\frac{Q^2}{2C}}{\frac{Q^2}{4C}} = \frac{1}{2C} \cdot \frac{4C}{1} = \frac{4}{2} = 2$

Конечная энергия оказалась в 2 раза меньше начальной. Это означает, что половина начальной энергии была потеряна, превратившись в теплоту в соединительных проводах во время перетекания заряда.

Ответ: Энергия поля уменьшилась в 2 раза.