Номер 3, страница 69, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. К концам стального и алюминиевого проводников одного сечения и массы приложены одинаковые напряжения. В каком проводнике сила тока больше и во сколько раз?

(Ответ: $\frac{I_{ал}}{I_{ст}} \approx 1,5$)

Дано:

Стальной и алюминиевый проводники.

Площадь сечения: $S_{ст} = S_{ал} = S$

Масса: $m_{ст} = m_{ал} = m$

Напряжение: $U_{ст} = U_{ал} = U$

Справочные данные:

Удельное сопротивление стали: $\rho_{ст} \approx 0,12 \cdot 10^{-6} \, Ом \cdot м$

Удельное сопротивление алюминия: $\rho_{ал} = 0,028 \cdot 10^{-6} \, Ом \cdot м$

Плотность стали: $D_{ст} \approx 7800 \, кг/м^3$

Плотность алюминия: $D_{ал} = 2700 \, кг/м^3$

Найти:

Отношение сил тока $\frac{I_{ал}}{I_{ст}}$

Решение:

Сила тока в проводнике определяется по закону Ома: $I = \frac{U}{R}$.

Так как напряжение $\text{U}$ на концах обоих проводников одинаково, сила тока будет больше в том проводнике, у которого меньше электрическое сопротивление $\text{R}$.

Найдем отношение сил тока в алюминиевом и стальном проводниках. Обозначим силу тока в алюминиевом проводнике как $I_{ал}$, а в стальном — $I_{ст}$.

$\frac{I_{ал}}{I_{ст}} = \frac{U/R_{ал}}{U/R_{ст}} = \frac{R_{ст}}{R_{ал}}$

Сопротивление проводника вычисляется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{l}$ – длина проводника, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения.

Подставим эту формулу в отношение сопротивлений. Так как площади сечения $\text{S}$ по условию одинаковы, они сократятся:

$\frac{R_{ст}}{R_{ал}} = \frac{\rho_{ст} \frac{l_{ст}}{S}}{\rho_{ал} \frac{l_{ал}}{S}} = \frac{\rho_{ст} l_{ст}}{\rho_{ал} l_{ал}}$

Длины проводников $l_{ст}$ и $l_{ал}$ нам неизвестны, но по условию равны их массы $\text{m}$. Выразим длину через массу, плотность $\text{D}$ и площадь сечения $\text{S}$.

Масса проводника равна произведению его объема $\text{V}$ на плотность $\text{D}$: $m = V \cdot D$.

Объем проводника (цилиндра): $V = l \cdot S$.

Следовательно, $m = l \cdot S \cdot D$. Отсюда выразим длину: $l = \frac{m}{S \cdot D}$.

Подставим выражения для длин $l_{ст} = \frac{m}{S \cdot D_{ст}}$ и $l_{ал} = \frac{m}{S \cdot D_{ал}}$ в полученное ранее отношение сопротивлений:

$\frac{R_{ст}}{R_{ал}} = \frac{\rho_{ст} \cdot \frac{m}{S \cdot D_{ст}}}{\rho_{ал} \cdot \frac{m}{S \cdot D_{ал}}}$

Упростим выражение, сократив одинаковые величины $\text{m}$ и $\text{S}$:

$\frac{R_{ст}}{R_{ал}} = \frac{\rho_{ст}}{D_{ст}} \cdot \frac{D_{ал}}{\rho_{ал}} = \frac{\rho_{ст} D_{ал}}{\rho_{ал} D_{ст}}$

Таким образом, искомое отношение сил тока равно:

$\frac{I_{ал}}{I_{ст}} = \frac{\rho_{ст} D_{ал}}{\rho_{ал} D_{ст}}$

Подставим числовые значения из справочных таблиц (удельное сопротивление и плотность для стали могут незначительно варьироваться в зависимости от марки):

$\frac{I_{ал}}{I_{ст}} = \frac{0,12 \cdot 10^{-6} \, Ом \cdot м \cdot 2700 \, кг/м^3}{0,028 \cdot 10^{-6} \, Ом \cdot м \cdot 7800 \, кг/м^3} = \frac{0,12 \cdot 2700}{0,028 \cdot 7800} = \frac{324}{218,4} \approx 1,4835$

Округляя результат, получаем значение, близкое к 1,5.

Поскольку отношение $\frac{I_{ал}}{I_{ст}} \approx 1,5$, что больше единицы, сила тока в алюминиевом проводнике больше, чем в стальном.

Ответ: сила тока больше в алюминиевом проводнике; она больше примерно в 1,5 раза.